Salve ragazzi, mi sapreste aiutare su questo esercizio?
L'esercizio mi chiede: data l'equazione:
$ kx^2-2xy+5y^2-k^2=0 $
stabilire se vi sono dei valori di k per cui la conica risulta riducibile e trovare in tali casi le equazioni delle rette di cui essa risulta essere unione e le coordinate dei punti doppi.
Allora per svolgere questo esercizio ho fatto così:
mi sono costruito la matrice associata:
$ | ( k , -1 , 0 ),( -1 , 5 , 0 ),( 0 , 0 , -k^2 ) | $
che risulta uguale a zero per i valori: k=0 e k=1/5. Quindi in questi due casi risulta degenere. Inoltre il rango in questi due casi è 2 quindi, in particolare, risulta semplicemente degenere ed è formata dall'unione di due rette distinte.
Per k=0 abbiamo: $ -2xy+5y^2=0 $
quindi le due rette sono y=0 e -2x+5y=0
mettiamo a sistema:
$ { ( y=0 ),( -2x+5y=0 ):} $
e troviamo il punto doppio (0;0)
Per k=1/5 abbiamo: $ 1/5x^2-2xy+5y^2-1/25=0 $
e risolvendo l'equazione di secondo grado otteniamo le due rette:
$ 10y-2x+2sqrt(5)/5=0 $ e $ 10y-2x-2sqrt(5)/5=0 $
ma se li metto a sistema non trovo soluzioni... come devo fare? Ho sbagliato qualcosa io?