Limite di probabilità

[Saph]

Consideriamo il seguente scenario: un urna contiene $N$ palline numerate (da 1 a $N$). Vengono estratte $n$ palline senza reimbussolamento. Disponendo i numeri usciti $k_i$ in ordine crescente, si calcoli la probabilità che $k_m \le M < k_{m+1}$ (fissati $m$, $M$) ed il limite della probabilità per $N$ e $M$ che tendono all'infinito, sapendo che $M/N \rightarrow \alpha \in (0, 1)$.

Escludendo i casi banali (tipo $m>n$ o $M>N$ e così via), la probabilità dovrebbe essere

\[ P(E) = \frac{ C_{M,m} * C_{N-M,n-m}}{C_{N,n}} \]

dove con $C_{n,k}$ indico le combinazioni semplici.

Il problema sorge quando vado per calcolare il limite. sarei tentato di ragionare in questo modo:

\[ P(E) = \frac{ M! }{m! (M-m)!} \frac{(N-M)!}{(n-m)! (N-M-n+m)!} \frac{ n! (N-n)! }{N!} = \frac{ M! }{(M-m)!} \frac{(N-M)!}{(N-M-n+m)!} \frac{ n! }{(n-m)! m! } \frac{(N-n)! }{N!} \]

Ora: $M!$ e $(M-m)!$ dovrebbero essere dello stesso ordine di infinito, così come $(N-n)!$ $N!$. Il terzo fattore è semplicemente il coefficiente binomiale $n$ su $m$. Per quanto riguarda il secondo fattore, data la clausola sul limite del rapporto $M/N$ ci restringiamo a $M=\alpha N$

\[ \lim_{M,N \to \infty} \frac{(N-M)!}{(N-M-n+m)!} = \lim_{N \to \infty} \frac{(N(1-\alpha))!}{(N(1-\alpha)-n+m)!} \]

Poniamo, per semplicità di lettura $c:=1 - \alpha$ e $k=n-m$ e applichiamo la formula di Stirling per approssimare il fattoriale all'infinito. Dovrebbe venire:

\[ \lim_{N \to \infty} \frac{(Nc)!}{(Nc-k)!} = \lim_{N \to \infty} \frac{e^{-Nc} (Nc)^{Nc} \sqrt{2\pi Nc} }{e^{-Nc}e^{k} (Nc-k)^{Nc} (Nc-k)^{-k} \sqrt{2\pi(Nc-k)} } = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{e^k} \big( \frac{Nc}{Nc-k}\big)^{Nc} (Nc-k)^k \sqrt{\frac{Nc}{Nc-k}} = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{e^k} \big( \frac{1}{1-\frac{k}{Nc}}\big)^{Nc} (Nc-k)^k \sqrt{\frac{Nc}{Nc-k}} \]

..che sembra tendere ad infinito, dato che $k>0$.
Quindi ci deve essere un errore, o nel limite, o nell'espressione della probabilità. Quest'ultima l'ho controllata con alcune simulazioni e mi sembrava corretta anche ragionandoci su, quindi le mie perplessità principali sono sul limite, temo di aver fatto un ragionamento poco rigoroso...potrei sbagliarmi in entrambi i casi!

[Seneca]

Consideriamo il seguente scenario: un urna contiene $N$ palline numerate (da 1 a $N$). Vengono estratte $n$ palline senza reimbussolamento. Disponendo i numeri usciti $k_i$ in ordine crescente, si calcoli la probabilità che $k_m \le M < k_{m+1}$ (fissati $m$, $M$)

Temo di avere dei problemi a decifrare il testo... Fammi capire...
Tu fai $n$ estrazioni da un urna di $N$ palline. Dopodiché vuoi calcolare la probabilità che, fissati arbitrariamente due numeri $m, M$ sia $k_m \le M < k_{m+1}$, dove i $k_i$ sono gli $n$ estratti (ordinati). Sbaglio?

[Saph]

No, esatto