Criteri di stabilità

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Salve a tutti ,

non sto capendo bene i criteri di stabilità per una configurazione di equilibrio di un sistema meccanico.

Sul mio testo filava tutto liscio ,

se l' hessiana dell 'energia potenziale è definita positiva in un punto critico , allora quel punto è di equilibrio stabile,

altrimenti si tratterà di equilibrio instabile.

Ora facendo esercizi presi in rete , mi si dice che anche se l' hessiana è definita negativa , ma il punto è un massimo proprio per l'energia potenziale , allora anche in questo caso si avrà un equilibrio stabile .

Ora vi chiedo , ma è così ?

Se si , perché ?

Inoltre dove potrei trovare una lista completa di criteri per discutere la stabilità o l'instabilità di un sistema meccanico?

Grazie per l' aiuto.

[hamilton]

altrimenti si tratterà di equilibrio instabile.

questo è falso. Prendi ad esempio $V(x) = x^4$.

Ora facendo esercizi presi in rete , mi si dice che anche se l' hessiana è definita negativa , ma il punto è un massimo proprio per l'energia potenziale , allora anche in questo caso si avrà un equilibrio stabile .

mi sembra alquanto surreale questa affermazione

Inoltre dove potrei trovare una lista completa di criteri per discutere la stabilità o l'instabilità di un sistema meccanico?

Forse io saprei dove indirizzarti... devo solo scoprire se esiste ancora su internet.

Comunque non esiste un criterio generale per la stabilità. Esistono specifici equilibri la cui stabilità è un problema aperto.

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Per esempio qui

http://www.albertostrumia.it/libri/dida ... tolo21.pdf

quando parla del teorema di Dirichlet afferma:

Se un sistema olonomo a vincoli indipendenti dal tempo, è soggetto
a sole forze conservative e il potenziale presenta un massimo relativo
stretto in una configurazione di equilibrio ordinaria q* allora questa è
una configurazione di equilibrio stabile .

Sto facendo molta confusione proprio perché sul mio testo non accenna affatto ai criteri di stabilità e sto prendendo un po di cose in rete.

Non so se prendere l' hessiana dell' energia potenziale , o l' hessiana della lagrangiana , infatti cè chi prende l'una chi l'altra ,

non riesco a trovare niente di completo.

Per esempio , considero l'hessiana della lagrangiana in un certo punto :

$ ( ( -k , 1/2kl ),( 1/2kl , -1/4kl^2lambda ) ) $

allora questo punto è stabile se $ λ > 1 $ e instabile se $ λ < 1 $ .

[hamilton]

occhio che questo tizio chiama potenziale una roba che è l'opposto di quello che in genere si chiama potenziale (vedi la fromula in basso di pg 173)

per la storia completa su tutto quello che si sa di elementare vai qui:
http://www.mat.unimi.it/users/penati/di ... %201-4.pdf
e leggi il 4.2.B

(curati anche losservazione 2 a pag 221)

E fai attenzione al 4.2.D, che è la cosa veramente interessante

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Grazie per il tuo aiuto