Vi ringrazio in anticipo, e non vi ruberò molto tempo.
Premessa: dato che non provengo da un liceo scientifico, non ho mai fatto gli elementi principali della logica classica, nemmeno ai corsi di analisi matematica, pertanto per colmare questa lacuna ho studiato gli elementi basilari che ho trovato sull'argomento.
1. Definisco i principali connettivi logici nella logica classica (negazione, congiunzione, disgiunzione inclusiva ed esclusiva, implicazione materiale (diretta, inversa, contraria, contro inversa) e co-implicazione materiale) tramite le tavole di verità; fin qui va tutto bene.
Implicazione materiale $→$
Deduzione logica $⇒$
2. La regola di inferenza deduttiva “modus ponendo ponens (MPP)” ho visto che viene definita in questo modo:
Date due proposizioni $A,B$
Si definisce “premessa del MPP” , la proposizione composta $P≝(A→B)∧A$
Si definisce “conclusione del MPP”, la proposizione $C≝B$
Si definisce regola di deduzione MPP: $P⇒C$ “se P, deduco C”
Quindi si fa vedere che questa regola di deduzione è corretta, in quanto l’implicazione materiale: $P→C$ “se P, allora C” è una tautologia.
Fin qui mi pare di aver capito che la differenza tra la freccia dell'implicazione materiale e quella della deduzione, è che la prima è un connettivo logico e in generale non necessita di un legame di significato (es. nesso causalità) tra le proposizioni $A,B$ che vado a legare con l'implicazione, mentre la seconda indica la direzione del ragionamento (che significa questo?).
3. I miei dubbi principali sono:
D1 – Quando ho davanti un teorema, non mi è chiaro se questo viene inteso nella forma $A→B$, oppure se è inteso nella forma del MPP $P⇒C$.
In generale si parla di ipotesi(H) e tesi (T), ma non mi è chiaro se l’ipotesi del teorema è $A$, se è $P=(A→B)∧A$ (cioè la premessa del MPP), oppure se l’ipotesi dipende dal tipo di dimostrazione che vado a scegliere di fare, ed è rappresentata da ciò che c’è a sinistra della freccia di deduzione (vedere punto D3).
Stessa cosa per la tesi, è $B$, è $C$ (cioè la conclusione del MPP), oppure dipende dal tipo di dimostrazione che vado a scegliere di fare, ed è rappresentata da ciò che c’è alla destra della freccia di deduzione (vedere punto D3)?
D2 – Nel ragionamento del MPP, è solo A che è condizione sufficiente per $C$, o è l’intera $P$ che è condizione sufficiente per $C$?
(In base alla tavola di verità, mi pare che la sola verità di $A$ non sia sufficiente a garantire la verità di $C$, bensì è la verità di P ad essere condizione sufficiente per la verità di C … è giusto?). Come si trasporta questo concetto nei teoremi? Più in generale, un teorema devo vederlo come un ragionamento in forma di modus ponens?
D3 – Dato un teorema, chiamando $H $ l'ipotesi e $T $ la tesi, ho letto che si possono usare varie tecniche di dimostrazione equivalenti, tra cui:
- dimostrazione del teorema nella forma diretta: $H⇒T$ "se H è vera, deduco che T è vera"
- dimostrazione del teorema nella forma contro inversa: $nonT⇒nonH$ "se nonT è vera, deduco che nonH è vera"
- dimostrazione per assurdo: $(H∧nonT)⇒nonH $ "se (H e nonT) è vera, deduco che nonP è vera" e quindi ho una contraddizione, con l'assunto iniziale.
Il mio dubbio è: ma queste sono tutte forme di MPP in cui P è ciò che c'è alla sinistra dell'uguale e C è ciò che c'è a sinistra? O non c'entra nulla? Che legame c'è tra A, P, H e tra B, C, T?
D4 - Infine, consideriamo un esempio semplice per capirci:
"Se un numero $x$ è dispari, allora il suo quadrato $x^2$ è dispari"
Ora io ragionerei in questo modo:
Proposizione A: "il numero $x$ è dispari"
Proposizione B: "il quadrato $x^2$ è dispari"
Quindi la proposizione "Se A, allora B" è l'implicazione materiale: $A→B$
Ciò che non mi è chiaro è: devo dimostrare che l’implicazione materiale $A→B$ è vera, oppure devo dimostrare che date per ipotesi vere le proposizioni $A$ e $A→B$ si deduce che B è vera? Cosa c'entra il modus pones in tutto questo fatto?
Insomma, mi manca di riunire i pezzi, perché sono davvero confuso!
Vi ringrazio davvero se potete aiutarmi a sbrogliare la mia confusione! Scusate il disturbo.
); sarebbe utile la parola di qualcun altro ... 
