Numeri complessi!

[Zumbo]

1. Rappresentare sul piano di Gauss il luogo dei numeri complessi z 2 C tali che
$ |e^(iz^2-1)|<1 $


Non so proprio da dove partire! :S

[ciampax]

Se $z=x+iy$ allora $z^2=x^2-y^2+2ixy$. Ricorda poi che $|e^{it}|=1$ per ogni $t\in RR$. Prova a fare i conti.

[Zumbo]

Mi potresti dare ancora qualche dritta... non riesco a sciogliere il nodo!

[ciampax]

Poniamo $z=x+iy$ allora
$$iz^2-1=i(x^2-y^2+2ixy)-1=i(x^2-y^2)-2xy-1$$
Pertanto
$$|e^{iz^2-1}|=|e^{i(x^2-y^2)}\cdot e^{-2xy-1}|=|e^{i(x^2-y^2)}|\cdot |e^{-2xy-1}|=e^{-2xy-1}$$
dal momento che $|e^{it}|=1$ e $|e^a|=e^a$, essendo l'esponenziale reale sempre positivo. I numeri complessi cercati sono allora quelli per cui $e^{-2xy-1}<1$, cioè $-2xy-1<0$ ovvero i punti esterni all'iperbole equilatera di equazione $xy=-1/2$.

[Zumbo]

ma perchè |e^it|è 1?

[ciampax]

Ma tu un po' di teoria te la sei studiata o no?
$$e^{it}=\cos t+i\sin t$$
per cui
$$|e^{it}|=\sqrt{\cos^2 t+\sin^2 t}=1$$

[Zumbo]

Scusa, hai ragione... era quasi ovvio! Grazie mille!