relazione d'ordine

[DR1]

Dimostrare che $a + b sqrt 2 <= c + d sqrt 2 iff c - a + (d - b) sqrt 2 >= 0$
è una relazione che rende
$F := { a+ b sqrt 2 : a , b in QQ }$
un campo ordinato
Devo dimostrare che la relazione goda delle proprietà riflessiva , antissimmetrica e transitivo ?
In che modo ?

[onlyReferee]

Ciao DR1
Innanzitutto bisogna aver chiara la definizione di campo ordinato che puoi trovare (ad esempio) qui. Poiché è richiesto che la relazione proposta sia un ordine totale bisogna verificare che soddisfi le quattro proprietà di essere riflessiva, antissimetrica, transitiva ed appunto anche totale.
Infine per completare l'opera è necessario verificare le ultime due proprietà richieste, ossia $\forall a, b, c \in F$:

1. Se $a \le b$ allora $a + c \le b + c$;
2. Se $0 \le a$ e $0 \le b$ allora $0 \le a \cdot b$.

Ovviamente in tali proprietà $+$ e $\cdot$ sono le due operazioni definite nel campo $F$.

[DR1]

Ok, ma per dimostrare ad esempio $ AA a in F" " a R a$
come si procede ?
$a + b sqrt 2 <= a + b sqrt 2 $ o $ (0 + 0 sqrt 2, ... , a + b sqrt 2) sube (0 + 0 sqrt 2, ... , c + d sqrt 2)$ ?

[onlyReferee]

No, basta che che vedi se vale appunto la relazione seguente: $\forall x \in F \quad x \le x$ ($R$ nel nostro specifico è la relazione $\le$):?:
Sia ora $x = a + b \sqrt 2, a,b \in \mathbb{Q}$. Sappiamo che $a + b \sqrt 2 \le a + b \sqrt 2 \Leftrightarrow (a - a) + (b- b) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2$. Ora poiché $(a - a) + (b- b) \sqrt 2 = 0 + 0 \sqrt 2$ e banalmente $0 + 0 \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2$ la proprietà riflessiva è verificata. Come sempre lo $0$ per noi è l'elemento $0 + 0 \sqrt 2$ di $F$ (come se ricordi ti avevo scritto nell'altro thread).
Forse la parte una un attimino più da pensare è dimostrare la totalità (nulla di impossibile e lungo per carità ma secondo me giusto un attimino meno immediato).

[DR1]

Come si dimostra la proprietà antisimmetrica ?
in particolare , se $ a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2 iff c - a + ( d - b ) sqrt 2 >= 0 $ vera , $ c+ d sqrt 2 < a + b sqrt 2 $ falsa
$ c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2 iff a - c + ( b - d ) sqrt 2 = 0 $ , cioe $ a + b sqrt 2 = c+ d sqrt 2 $ giusto ?

[onlyReferee]

[...]
$ c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2 iff a - c + ( b - d ) sqrt 2 = 0 $
[...]

Ciao DR1
Qui penso intendessi scrivere $ c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2 iff a - c + ( b - d ) sqrt 2 >= 0 $
In realtà io sarei un attimo più formale nella dimostrazione perché, scritta così, secondo me non si comprendono bene i vari passaggi. Molto semplicemente si può partire da una delle due implicazioni (ad esempio la seconda), ossia $ c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2 iff a - c + ( b - d ) sqrt 2 >= 0 $. Ora possiamo moltiplicare ambo i membri di $(a - c) + ( b - d ) sqrt 2 >= 0$ per $(-1 + 0 sqrt 2)$. In quanto valore negativo dovremo cambiare il verso della disuguaglianza chiaramente. In questo modo vedi che otteniamo nient'altro che la seconda parte della prima implicazione in cui però cambia il verso della disuguaglianza. Da qui si ricava facilmente che $a = c$ e $b = d$ che ci permette così di dimostrare quanto vogliamo.

[DR1]

No , non intendevo $ c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2 iff a - c + ( b - d ) sqrt 2 >= 0 $

$ a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2 iff c - a + ( d - b ) sqrt 2 >= 0 $ vera ,
dunque $ c+ d sqrt 2 < a + b sqrt 2 $ falsa ,
di conseguenza $ c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2$ (vera) $iff a - c + ( b - d ) sqrt 2 = 0 $
cioe , $ a + b sqrt 2 = c+ d sqrt 2 $
non è corretto ?

[onlyReferee]

Allora, andiamo con ordine: $a + b sqrt 2 >= c+ d sqrt 2$ e $c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2$ sono le due nostre ipotesi che sappiamo già essere vere. Pertanto:

No , non intendevo $ c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2 iff a - c + ( b - d ) sqrt 2 >= 0 $

$ a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2 iff c - a + ( d - b ) sqrt 2 >= 0 $ vera ,
dunque $ c+ d sqrt 2 < a + b sqrt 2 $ falsa ,
[...]

Questo passaggio è corretto.

[...]
di conseguenza $ c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2$ (vera) $iff a - c + ( b - d ) sqrt 2 = 0 $
[...]

No, qui hai ricavato qualcosa che sai già essere vero (dove scrivi "di conseguenza"), nel successivo iff invece usi correttamente la seconda ipotesi iniziale. In ogni caso se $c + d sqrt 2 < a + b sqrt 2$ è falsa potrai dedurre che $c + d sqrt 2 >= a + b sqrt 2$ è vera (cioè il contrario di quanto detto) ma non che $c + d sqrt 2 <= a + b sqrt 2$.

[...]
cioe , $ a + b sqrt 2 = c+ d sqrt 2 $
non è corretto ?

Non mi convince, non capisco il filo di tutto... Bisogna che lavori su cosa implicano le ipotesi iniziali.

[DR1]

$ a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2 iff c - a + ( d - b ) sqrt 2 >= 0 $ vera
dunque $ c+ d sqrt 2 < a + b sqrt 2 $ falsa
quindi affinchè$ (a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2) ^^ (c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2)$ siano vere entrambe
bisogna escludere $<$ da $c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2$ ,
$ (a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2) ^^ (c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2)$ allora ,
diventa $ (a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2) ^^ (c+ d sqrt 2 = a + b sqrt 2)$ ;
essendo $c+ d sqrt 2 = a + b sqrt 2$ , di conseguenza anche$a + b sqrt 2 = c+ d sqrt 2$
con ciò si conclude che $a + b sqrt 2 = c+ d sqrt 2$ come si voleva .
Ora il ragionamento è corretto ?

[DR1]

la dimostrazione della proprietà transitiva , mi sembra troppo banale .
$AA x , y , z in F (x <= y) ^^ (y <= z) rArr x <= z $
basta questo $ x <= y <= z $ quindi $ x <= z $ ?
con
$x = a + b sqrt 2 $
$y = c + d sqrt 2 $
$z = e + f sqrt 2 $