Estensioni di campi

[Thomas]

Posto in questa sezione perchè queste sono domande che mi sono fatto io provando a studiare un po' di algebra. Non ho le soluzioni, ma vorrei vedere come si approcciano questi problemi e cosa si può dedurre, quindi ve li propongo:

Questione 1: Siano $p_i$ $i=1,n$ primi distinti. E' vero che i reali $\sqrt{p_i}$ sono linearmente indipendenti su $Q$?

Questione 2: quale è il grado su $Q$ dell'estensione $Q(\sqrt{p_1},...,\sqrt{p_n})$ ?

[killing_buddha]

http://kam.mff.cuni.cz/~klazar/tomek_pr.pdf e http://math.stackexchange.com/questions ... e-field-of dovrebbero rispondere a entrambe le domande

[Thomas]

Perfetto grazie mille ti ringrazio molto! il risultato l'avevo almeno congetturato ... le dimostrazioni non sono nemmeno troppo complicate (se uno maneggia la teoria meglio di quanto faccio io al momento ), e molto belle!... l'idea principale mi pare "razionalizzare!"

[Thomas]

In effetti l'idea della razionalizzazione non serve se uno conosce questo risultato più generale (che in teoria avrei dovuto sapere.. ma sono alla prima lettura):

TEO: Sia $F$ campo e $K$ una sua estensione. Sia $a$ in $K$ qualsiasi e sia $p(x)$ il suo polinomio minimo. Allora vale la caratterizzazione:

$F(a)={\alpha_0+\alpha_1*a+\alpha_2*a^2+...+\alpha_{n-1}a^{n-1}|\alpha_i in F}$

dove $n=deg p$.

In sostanza lì dimostrano e usano questo risultato per $n=2$, razionalizzando i denominatori.

E' un risultato molto carino, dà una base esplicita di $F(a)$ (come spazio vettoriale) usando le potenze di $a$... talmente carino che mi sta venendo il dubbio di non averlo capito...