Esercizio Campionamento

[delca85]

Ciao ragazzi, ho bisogno di una mano per svolgere questo problema:

qual è la probabilità che due osservazioni di un campione casuale di ampiezza 2 estratti da una popolazione con distribuzione rettangolare nell'intervallo unitario, non differiscano per più di $1/2$?

Il campione $X_1, X_2$ ha funzione di densità: $f(x_i) = I_{[0, 1]} (x_i)$.
La media campionaria è $1/2 (X_1 + X_2)$ ed io devo studiare $P[|X_1 - X_2|] \le 1/2$, non ho idea di come fare, però.
Un aiutino da qualcuno di più dotto in materia di me?

[delca85]

E' forse conveniente utilizzare una nuova variabile aleatoria $Z = X_1 - X_2$, considerando che i due campioni siano statistiche d'ordine?
$Z$ varia da $0$ a $1$-
A questa maniera, poichè $X_1$ e $X_2$ sono indipendenti ed ugualmente distribuite uniformemente su $[0, 1]$ sarebbe:
$f(z) = \int_{-\infty}^{infty} f_{X_1}(x_1) * f_{X_2} (x_1 - z) dx = \int_{-\infty}^{infty} I_{[0, 1]} (x_1) * I_{[0, 1]} (x_1 - z) dx$
La probabilità che sto cercando io è $F(1/2) = P[Z <= 1/2] $.

Cosa ne dite?

[adaBTTLS]

non mi è chiara la tua terminologia ("distribuzione rettangolare"...), ma il testo mi dà l'idea di una cosa molto più semplice: te la scrivo qui, sperando che sia utile, altrimenti scusami se ti porto fuori strada.
io immagino un quadrato unitario nel piano cartesiano, cioè quello di vertici $O(0;0),A(1;0),B(1;1),C(0;1)$, e dovresti semplicemente trovare l'area dell'esagono $OMNBLK$, con $M(1/2;0),N(1;1/2);L(1/2;1),K(0;1/2)$, che è il luogo dei punti del quadrato $OABC$ che verificano la disequazione $|x-y|<= 1/2$.
ciao. facci sapere.

[delca85]

Effettivamente la terminologia non è delle più immediate, "distribuzione rettangolare" sta per distribuzione uniforme, semplicemente, che poi coincide con il quadrato $OABC$ che hai definito tu.

Come dovrei proseguire nello studio della probabilità di $P[|x - y|] \le 1/2$?
Grazie della risposta!

[adaBTTLS]

prego!
beh, la probabilità richiesta è data dal rapporto tra l'area dell'esagono e l'area del quadrato (unitario), e quindi basta fare $1$ meno l'area dei due triangoli "al di fuori dell'esagono" ($MAN$ e $LCK$, mi pare), ciascuno di area $1/2*1/2*1/2=1/8$, dunque la probabilità è $1-1/4=3/4$.