Sistema di congruenze e divisibilità

[IceManSebbi]

Ciao a tutti ragazzi,
sto cercando di risolvere un esercizio sui sistemi di congruenze il cui testo è:

Dato il seguente sistema di congruenze:
$ { ( x-= 9 mod 162 ),( x-= -9 mod 114 ):} $
Si determinino tutte le soluzioni e si dica se tale sistema possiede una soluzione divisibile per 17.

Solitamente questo tipo di esercizi li risolvo con il teorema del resto cinese ossia il sistema ha soluzioni se $ -9-9 | (162,114)$
Siccome l'mcd tra 162 e 114 è 6 e questo divide -18, allora il sistem ha soluzioni.

Ora con l'algoritmo di euclide ottengo che $ 6 = 10*114+(-7)*162 $ lo combino poi con $ -9-9$ ed ottengo:
$ -9-9 = -18 = 6*-3 = 21*162 + -(30)*114 $ che diventa $ -9+(30*114)=9+(21*162)=3411$
Per ottenere tutte le soluzioni faccio:
$[162.114] = (162*114)/(162,114) = 3078$
$sol={3411 + m*3078 | m \in Z } = [3411]3078=[333]3078$

In questo modo dovrei aver risolto (a meno di errori di calcolo) la prima parte. Ma non capisco come vedere se il sistema ha soluzioni divisibili per 17.
grazie per il vostro aiuto

[adaBTTLS]

benvenuto nel forum.
se i calcoli sono corretti (mi pare di sì, perché io ho ottenuto 333 come una soluzione con metodi più elementari), basta far vedere che esiste almeno un $m$ per cui $3078*m$ è conguo a $6$ modulo $17$, dato che $3411$ è congruo a $11$;
più precisamente:
$3411+m*3078=3400+11+m*3077+m=200*17+11+m*181*17+m=(200+181*m)*17+11+m$
per $m=17k+6$, dove $k in ZZ$, il numero precedente è multiplo di $17$.
ciao.

[IceManSebbi]

benvenuto nel forum.
se i calcoli sono corretti (mi pare di sì, perché io ho ottenuto 333 come una soluzione con metodi più elementari), basta far vedere che esiste almeno un $m$ per cui $3078*m$ è conguo a $6$ modulo $17$, dato che $3411$ è congruo a $11$;
più precisamente:
$3411+m*3078=3400+11+m*3077+m=200*17+11+m*181*17+m=(200+181*m)*17+11+m$
per $m=17k+6$, dove $k in ZZ$, il numero precedente è multiplo di $17$.
ciao.

Ciao,
intanto grazie mille per avermi risposto e controllato la parte di esercizio che sono riuscito a svolgere.
Non sono però riuscito a capire come hai svolto la seconda parte (scusa so di essere una capra in queste cose).
Intanto perchè $3078*m$ deve essere congruo a $ 6 mod 17 $? Cioè $6 mod 17 $ il 6 perchè è l'mcd e il 17 perchè è quello richiesto?
Poi mi dici dato che $3411$ è congruo a $11$ ma come fai a vederlo cosi immediatamente?

[adaBTTLS]

il numero generico che tu hai scritto nella rappresentazione caratteristica è una somma di due numeri: 3411 che non dipende da m e 3078m che appunto è multiplo di m.
34 è il doppio di 17, per cui 3400=200*17, per questo vedo immediatamente che 11 è il resto della divisione di 3411 per 17.
vuol dire che se dobbiamo ricercare i multipli di 17 tra quelli della forma $3411+3078m$ intanto possiamo sottrarre 3400, e lavorare con 11 e l'altra parte. provo a dividere 3078 per 17 ed ottengo quoziente 181, mi pare, e resto 1, il che significa che 3077 è multiplo di 17, per cui come abbiamo sottratto 3400 possiamo sottrarre anche 3077m e lavorare solo con $11+1*m$.
tale numero è multiplo di 17 se e solo se $m=17k+6$. è più chiaro così?

[IceManSebbi]

il numero generico che tu hai scritto nella rappresentazione caratteristica è una somma di due numeri: 3411 che non dipende da m e 3078m che appunto è multiplo di m.
34 è il doppio di 17, per cui 3400=200*17, per questo vedo immediatamente che 11 è il resto della divisione di 3411 per 17.
vuol dire che se dobbiamo ricercare i multipli di 17 tra quelli della forma $3411+3078m$ intanto possiamo sottrarre 3400, e lavorare con 11 e l'altra parte. provo a dividere 3078 per 17 ed ottengo quoziente 181, mi pare, e resto 1, il che significa che 3077 è multiplo di 17, per cui come abbiamo sottratto 3400 possiamo sottrarre anche 3077m e lavorare solo con $11+1*m$.
tale numero è multiplo di 17 se e solo se $m=17k+6$. è più chiaro così?

Ok ora ho capito già di più, ma come fai a dire che è multiplo di 17 se e solo se $m=17k+6$.

Grazie mille ancora, nel caso avessi problemi di qualsiasi genere con il pc non esitare a chiedere

[adaBTTLS]

.... perché $m+11=17k+6+11$ .... , e $6+11=17$, anche se così è un "ragionamento alla rovescia", quindi questa risposta non è formalmente corretta, è solo per dire come ci si arriva.
cerco di spiegarmi con qualche esempio diverso:
per quali valori di $k$ il numero $5+3k$ è pari (cioè multiplo di $2$)?
per quali valori di $m$ il numero $5+20m$ è multiplo di $3$?
visto che i casi sono semplici, prova ad arrivarci da solo, anche con metodi terra-terra, e poi confronta i risultati con quelli del tuo esercizio. facci sapere. ciao.