[Analisi II] Area Porzione di grafico?

[Zodiac]

Ragazzi oggi vi chiedo il vostro aiuto con degli integrali, praticamente nella parte scritta dell'esame di analisi II avrò principalmente da calcolare integrali e la alcuni degli esercizi più "Quotati" sono del tipo: Calcolare l'area della porzione di grafico di F(x,y)=... interna/sovrastante/sottostante (ecc...) una data figura geometrica (esempio: sovrastante il cilindro, interna alla sfera unitaria o altri.)

Tuttavia non mi ricordo molto bene il procedimento generale di come si risolve l'esercizio (ebbene mentre seguivo le lezioni sapevo fare abbastanza agilmente questi esercizi ma poi è arrivato l'appello estivo e ho dovuto preparare algebra abbandonando completamente analisi II quindi ora non mi ricordo praticamente nulla!)

Mi ricordo che si lavora con gli integrali doppi, infatti (vado a memoria) si cerca sempre di trasformare il tutto in coordinate polare (ro e tetha) in modo da lavorare più agilmente e soprattutto in una sola variabile. per fare ciò però bisogna trovare gli estremi di integrazione di ro e di tetha (per tethe se non ricordo male è molto semplice perchè se si tratta di una sfera sara 0-2pi, per una semisfera 0-pi, per un cilindro 0-2pi e così via) mentre per ro la situazione è più complessa giusto?

Per semplificare le cose prendiamo un esercizio:
L’area della porzione di grafico di \(\displaystyle z = xy \) (paraboloide iperbolico) sovrastante il cerchio
\(\displaystyle x^2 + y^2 ≤ 2 \)

Ora come ho già cercato di dire, dobbiamo cercare di trasformare i nostri integrali in 3 variabili (x,y,z) in integrali con coordinate polari. per fare ciò prima si trovano gli estremi di integrazione di tetha e di ro e successivamente si procede alla risoluzione degli integrali. per tetha dovrebbe essere semplice: essa varia tra 0 e 2pi perchè si tratta di un cerchio giusto?, mentre per ro? io infatti mi blocco proprio in questo punto, non riesco a ricordare quali calcoli devo fare per trovare gli estremi di integrazione di ro, e quello che mi fa più rabbia e che prima sapevo farlo!

Mi scuso per il mio sfogo e vi ringrazio in anticipo per l'aiuto che mi darete...

[ciampax]

Se si trattasse di "volume", allora basterebbe calcolare l'integrale della funzione data sul dominio nel piano. Ma qui parliamo di "area" e quindi ciò che devi fare è il calcolo di un integrale di superficie. Sai come sono definiti?

[Zodiac]

no, non lo ricordo. purtroppo il problema è proprio che ho scordato praticamente ogni cosa.
Stavo riguardando gli esercizi fatti a lezione e un po di teoria, da quello che mi pare di capire l'integrale di superficie si calcola come integrale di 1+f(x,y) giusto?

[ciampax]

?????E perché mai? Prova a rileggere qua: http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_ ... di_2-forme
Nel caso ti spiego.

[Zodiac]

ok, ho letto ma ancora riesco a capire come riuscire a risolvere l'esercizio applicando la teoria...

[ciampax]

Dunque, ciò che vuoi fare è calcolare l'area della superficie $z=xy$ sapendo che $x,y$ variano all'interno del cerchio dato. Dal momento che per applicare le formule contenute nel link, hai bisogno di parametrizzare la superficie, la cosa migliore è farlo in base alle informazioni presenti. Osserva che le coordinate $x,y$ possono essere parametrizzate in forma polare con
$$x=u\cos v,\quad y=u\sin v,\qquad u\in[0,2],\ v\in[0,2\pi]$$
e in tal modo la forma parametrica della superficie ristretta al dominio dato risulta
$$r(u,v)=(u\cos v, u\sin v, u^2\sin v\cos v)$$
Abbiamo allora
$$r_u=(\cos v,\sin v,2u\sin v\cos v),\quad r_v=(-u\sin v,u\cos v,u^2(\cos^2 v-\sin^2 v))$$
da cui
$$|r_u\times r_v|=|(-u^2\sin v,-u^2\cos v,u)|=\sqrt{u^4\sin^2 v+u^4\cos^2 v+u^2}=u\sqrt{u^2+1}$$
Abbiamo allora per la superficie cercata
$$A=\int_S d\sigma=\int_0^2\int_0^{2\pi} u\sqrt{u^2+1}\ dv\ du=2\pi\int_0^2 u\sqrt{u^2+1}\ du=\\ 2\pi\left[\frac{1}{3}(u^2+1)^{3/2}\right]_0^2=\frac{2\pi}{3}(5^{3/2}-1)$$