Esercizio sugli ideali massimali.

[tranesend]

Sia $p in ZZ$ un numero primo. Nell'anello $M_(2) (ZZ)$ delle matrici $2x2$ a coefficienti in $ZZ$, si consideri l'insieme:

$I:={ ((a,b),(c,d))|a,b,c,d-=0(mod p)}$

Si dimostri che $I$ è un ideale massimale in $M_(2) (ZZ)$.

Io ho pensato di dimostrare che $(M_(2)(ZZ))/I$ è un campo ma non so come descrivere $(M_(2)(ZZ))/I$. Potete darmi una mano? O devo ragionare in modo diverso?

[Stickelberger]

L'anello $M_2(ZZ)$ non e' commutativo.

Suppongo che la frase "$I$ e' un ideale massimale in $M_2(ZZ)$"
vuol dire che "$I$ e' un ideale bilaterale massimale in $M_2(ZZ)$".

Per vedere questo, basta dimostrare che l'anello quoziente $R=M_2(ZZ)$/$I$
non ammette ideali bilaterali propri. In altre parole, $R$ deve essere semplice.

Ma questo e' un fatto ben noto, visto che $R$ e' isomorfo a $M_2(ZZ$/$pZZ)$
e $ZZ$/$pZZ$ e' un campo.

Edit: @Martino

[Martino]

Immagino che per "ideale" intendi "ideale bilatero". In tal caso non devi dimostrare che quel quoziente è un campo ma che è un anello semplice. Vedi per esempio qui.

Edit: ahaha, quasi la stessa tua risposta Stickelberger, beh la tengo dai