Determinare endomorfismo partendo da nucleo e immagine

[megna]

Salve, come da titolo non riesco a risolvere questo esercizio:
Siano U={(x,y,z,t)^t: x+2y-z=0, x-2y-t=0} e W={(x,y,z,t) : x-y+z=0, x+y+t=0} sottospazi di R^4. Determinare un endomorfismo in R^4 che ammetta U come nucleo e W come immagine.

Non ho idea di cosa debba fare, vi prego aiutatemi, è l'unica tipologia d'esercizio che non riesco a fare

[ciromario]

Due vettori di U sono: $(1,0,1,1)^t, (0,1,2,-2)^t $ e quindi, detto f l'endomorfismo, puoi porre :
A) $f((1,0,1,1)^t)=(0,0,0,0)^t;f((0,1,2,-2)^t)=(0,0,0,0)^t$
Due vettori di W sono: $(1,0,-1,-1)^t,(0,1,1,-1)^t$
e quindi, ad esempio, puoi porre :
B) $f((1,0,0,0)^t)=(1,0,-1,-1)^t;f((0,1,0,0)^t)=(0,1,1,-1)$
Poiché i vettori scelti sono l.i. ( fai te la verifica),mettendo insieme (A) e (B), l'endomorfismo f è determinato. Facendo
i soliti calcoli trovi che f è dato da :
$f((x,y,z,t)^t)=f((x-1/2z-1/2t,y-1/4z+1/4t,-x+y+1/4z+3/4t,-x-y+3/4z+1/4t)^t)$
P.S. Una diversa scelta dei vettori di U e di W porta ad un diverso endomorfismo.

[stormy]

il sottospazio $U$ ha dimensione 2
trova una base $e_1,e_2$ di questo sottospazio e aggiungi ad essa altri 2 vettori $e_3,e_4$ in modo da ottenere una base di $mathbbR_4$
anche il sottospazio $W$ ha dimensione 2 : determina una sua base $w_1,w_2$
un endomorfismo che risponda alla richiesta è la funzione lineare $f$ tale che
$f(e_1)=(0,0,0,0);f(e_2)=(0,0,0,0);f(e_3)=w_1;f(e_4)=w_2$

[stormy]

@ciromario
con quali superpoteri fai apparire un post prima del mio quando,e di questo sono sicuro,prima che io scrivessi la mia risposta non c'era ?

[megna]

Scusate se non ho risposto ma ho avuto dei problemi, comunque non ho capito il tuo ragionamento @ciromario. Potresti spiegarmelo un pò più passo passo? Grazie

[FrecciaRossa]

Allora credo che ciromario in sostanza abbia usato la stessa idea di stormy. Vuoi cercare un endomorfismo di $\mathbb{R}^4$ $f$ che abbia come nucleo $U$ e come immagine $W$, bene, per prima cosa devi verificare che $dim U + dim W=4$ altrimenti per il teorema della dimensione non esisterebbe l'endomorfismo. Poiché sia $U$ che $W$ hanno dimensione $2$ puoi procedere.

Ti ricordo che il nucleo è un sottospazio vettoriale del dominio, così come l'immagine è un sottospazio vettoriale del condominio.

Inizi con scegliere una base di $U$, ovvero ti cerchi due vettori linearmente indipendenti che lo generano, siano questi $v_1,v_2$. Per il teorema di completamento della base esistono due vettori di $\mathbb{R}^4$, siano questi $v_3,v_4$, tali che l'insieme $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ è una base di $\mathbb{R}^4$.
Alla stessa maniera facciamo con $W$; siano $w_1,w_2$ due vettori l.i. che lo generano.
Ora non devi fare altro che imporre
\[
f(v_1)=0\\
f(v_2)=0\\
f(v_3)=w_1\\
f(v_4)=w_2\\
\]

A esempio Ciromario ha scelto come base di $U$ i vettori ( per questioni tipografiche li scrivo pure io in riga )
$v_1=(1,0,1,1); v_2=(0,1,2,-2)$, e la completi ad una base di $\mathbb{R}^4$, ad esempio puoi prendere $v_3=(1,0,0,0); v_4=(0,1,0,0)$.

Come base di $W$ puoi prendere sempre seguendo la scelta di Ciromario
$w_1=(1,0,-1,-1); w_2=(0,1,1,-1)$.

Ora per comodità scriviamo la base di $U$ così: $\mathcal{B}=\{v_3,v_4,v_1,v_2\}$ ( cioè i primi due vettori sono quelli della base canonica!! ) e chiamiamo $A$ la matrice associata ad $f$; allora
\[ Av_3=(1,0,-1,-1);\\
Av_4=(0,1,1-1)
\] quindi possiamo già scrivere le prime due colonne
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & a_{13} & a_{14}\\
0 & 1 & a_{23} & a_{24}\\
-1 & 1 & a_{33} & a_{34}\\
-1 & -1 & a_{43} & a_{44}\\
\end{pmatrix}
\]
I coefficienti delle altre due colonne li trovi moltiplicando $A$ per i vettori $v_1,v_2$ e imponendoli uguali a $0$ ( devono essere vettori del nucleo ricordo ) precisamente


Ottieni quindi ( li scrivo sempre in riga )
$(1+a_{13}+a_{14}, a_{23}+a_{24}, -1+a_{33}+a_{34}, -1+a_{43}+a_{44})$ e
$(2a_{13}-2a_{14}, 1+2a_{23}-2a_{24},1+2a_{33}-2a_{34},-1+2a_{43}-2a_{44})$.

ora non ti rimane che risolvere $4$ sistemi $2\times2$ tipo: ( ti risolvo il primo, tanto gli altri si fanno uguale )
\[
1+a_{13}+a_{14}=0\\
2a_{13}-2a_{14}=0
\] la cui soluzione è data dalla coppia $(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$

Così trovi i coefficienti della matrice e quindi la tua $f$.

[megna]

Grazie mille!