Integrale su insiemi "piccoli" di funzione in $L^1$

[Delirium]

Nel cercare di applicare il teorema di Dunford-Pettis mi è saltata fuori una questione (credo abbastanza banale) di teoria della misura che al momento non riesco a risolvere: siano \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^n\) misurabile e \(\varphi \in L^1 (\Omega)\). Si riesce a maggiorare \[\int_A \varphi \, d m\]mediante un termine che dipenda in qualche modo da \(m(A)\) e \(\int_\Omega \varphi \, dm\), dove \(A \subset \Omega\) è di misura "piccola" (per esempio \(m(A) \le \epsilon\))? Intuitivamente se integro su un insieme di misura "piccola" dovrei ottenere qualcosa di "piccolo", ma questa intuizione annega nella vaghezza dei ricordi... bisogna forse passare per le funzioni semplici?

Ringrazio.

[Marie-Sophie]

Ciao!
Premetto che non sono sicura che quello che ti propongo sia esattamente ciò che cerchi, però tentar non nuoce...
La sommabilità di $\varphi$ su $\Omega$ implica l'assoluta continuità dell'integrale, ovvero

$forall varepsilon>0, \quad exists delta>0 \quad "tale che" \quad m(A)<delta \Rightarrow int_A |\varphi| \ \dm < varepsilon$

per ogni $A$ misurabile.

Ciò, ad esempio, spiega questo:

Intuitivamente se integro su un insieme di misura "piccola" dovrei ottenere qualcosa di "piccolo"

La dimostrazione che conosco io procede per assurdo. Se questo è ciò che cercavi, posso darti qualche dritta utile per provare la proprietà

[Delirium]

Sì, è esattamente ciò che andavo cercando. Mi basta anche un riferimento testuale.

[Marie-Sophie]

La dimostrazione di questa proposizione mi fu proposta a lezione in veste di esercizio (non rientrava dunque in programma), pertanto non ricordo se c'era su uno dei testi da cui ho studiato ;P Però la ricordo ed ho tutto segnato sul quaderno perciò volevo offrirti dritte per metter su una dimostrazione XD

In alternativa, si trova qualcosa in rete, ad esempio:
http://books.google.it/books?id=JUuK7Vg ... A0&f=false

Questa è pure più veloce della mia XD

[Delirium]

Ti ringrazio per il riferimento testuale. In ogni caso se mi lanci un hint provo anche a dimostrarlo da me

[Marie-Sophie]

Certo, ti illustro un po' i punti salienti della dimostrazione.

In primo luogo, sia per semplicità $\varphi$ positiva.

Come ti ho anticipato, procediamo per assurdo supponendo che

$ \exists\varepsilon>0\text{ tale che}\quad \forall delta>0, \exists E_{\delta} \text{misurabile per cui sia}" \quad m(E_{\delta})<\delta\quad \text{e}\quad \int_{E_{\delta}} \varphi dm>\varepsilon.$

$1)$ Scegliendo $\delta=2^{-k}$, si costruisce una successione di insiemi $\E_{k}$ tali che

$\sum_{k=1}^\infty m(E_{k})<+\infty$.

Tale condizione implica che $m(E)=0$ (da dimostrare), dove con $E$ s'intende il limite superiore della successione d'insiemi $E_k$, ovvero

$E=\bigcap_{h=1}^{+\infty} \bigcup_{k>=h}E_{k}$.

$2)$ La funzione che associa ad $E$ misurabile la quantità $\int_E \varphi dm$ è una misura $\mu$ (da dimostrare).

$3)$ Posto $F_{h}=\bigcup_{k>=h}E_{k}$, si ottiene una successione d'insiemi che decresce ad $E$ al tendere di h all'infinito. Poiché $\mu{F_1}<\infty$ (per una proprietà della misura), si ottiene che $\mu(F_{h})$ tende a $\mu(E)=0$ per h che tende all'infinito.

$4)$ Discende dalla monotonia della misura $\mu$ che

$\mu(F_h)>=\mu(E_h)>=\varepsilon>0$,

pervenendo così all'assurdo cercato.

[DajeForte]

E la peppa...alla faccia dell hint!

Comunque 2, 3, 4 li puoi compattare con Fatou.