Calcolo del Luogo dei Punti

[raffaele1965]

Ciao.
Vi chiedo un piccolo aiuto per un problema di geometria analitica che ho svolto completamente tranne l'ultimo punto.

Traccia il grafico dell'iperbole $y = (1+x)/(1-x)$ dopo averne determinato il centro $C$ e gli asintoti.
a. Scrivi l'equazione della retta $t$ tangente all'iperbole nel suo punto di intersezione con l'asse x. FATTO <$y=1/2(x+1)$>

b. Scrivi l'equazione dell'iperbole equilatera $\delta$ avente per asintoti gli assi di simmetria di $\gamma$ e passante per il punto di coordinate (2,1); traccia quindi il grafico di $\delta$ e deduci quanti punti in comune hanno $\gamma$ e $\delta$. FATTO <$(x-1)^2-(y+1)^2 = - 3$>

c. Scrivi l'equazione della circonferenza di centro $C$ tangente a $\gamma$. FATTO <$x^2+y^2-2x+2y-2=0$>

d. Verifica che $\gamma$ è il luogo dei punti $P$ del piano pe cui $sqrt(2)\bar(PH) = \bar(PF)$, essenso $H$ la proiezione di $P$ sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante ed $F(-1,1)$.

Il libro non fornisce risposta del punto $d.$.

Per quanto riguarda il punto ho impostato questo ragionamento.
Il punto $P$ appartiene alla cURva $\gamma$ quindi ha coordinate $P(x, (1+x)/(1-x))$.

Ho calcolato Il segmento $\bar(PH)$ con la distanza punto-retta; quindi, $\bar(PH)=(-x^2-1)/(1-x)/sqrt(2)$.
Ho calcolato Il segmento $\bar(PF)$ con la distanza tra due punti; quindi, $\bar(PF)=(x^2+1)/(x-1)$.

Pertanto, $sqrt(2)\bar(PH) = \bar(PF)$ diventa $sqrt(2)*(-x^2-1)/(1-x)/sqrt(2) = (x^2+1)/(x-1)$.

Questa uguaglianza è vera ossia svolgendo i calcoli mi trovo che $0 = 0$.
Dove sbaglio? Solitamente dovrebbe venire una conica oppure una retta; intendo come luogo dei punti.

Posto anche l'immagine che ho realizzato con GeoGebra.


Grazie del vostro aiuto.

Raffaele

[raffaele1965]

Ripensando bene, la traccia d. chiede di verificare e non calcolare il luogo dei punti; quindi, poichè la mia uguaglianza è senz'altro verificata, il problema è risolto.

Non è così?

Raffaele

[Vulplasir]

Il punto P appartiene alla curva γ quindi ha coordinate $P(x,1+x1−x)$.

Sbagli in questo passaggio. Questo è quello che devi arrivare a dimostrare.
Preso un qualsiasi punto $P(x,y)$ del piano, la sua distanza da $F(-1,1)$ è uguale a:

$PF=sqrt((y-1)^2+(x+1)^2)$

La sua distanza dalla bisettrice è:

$PH=|y-x|/sqrt(2)$

Imponendo $sqrt(2)*PH=PF$ abbiamo:

$|y-x|= sqrt((y-1)^2+(x+1)^2)$

Che se risolta porta alla tesi.

[raffaele1965]

Grazie per la risposta.

Ho ancora un dubbio. La traccia chiede di verificare che $\gamma$ è il luogo dei punti P del piano..... e quindi non un punto $P$ qualsiasi. Ecco perché ho imposto che $P$ appartenesse a $\gamma$. Non credi sia così?

Raffaele

[raffaele1965]

[quote="Vulplasir"][quote]

La sua distanza dalla bisettrice è:

$PH=|y-x|/sqrt(2)$

Imponendo $sqrt(2)*PH=PF$ abbiamo:

$|y-x|= sqrt((y-1)^2+(x+1)^2)$

Che se risolta porta alla tesi.[/quote]

Altro dubbio.

La distanza dalla bisettrice non dovrebbe essere, nel tuo esempio, $|x-y|$? L'equazione della bisettrice è infatti $x-y=0$.

Raffaele

[Vulplasir]

Ho ancora un dubbio. La traccia chiede di verificare che γ è il luogo dei punti P del piano..... e quindi non un punto P qualsiasi. Ecco perché ho imposto che P appartenesse a γ. Non credi sia così?

Beh da come lo dice il testo penso vadano bene tutti e due, ossia, il testo dice: VERIFICA che γ sia il luogo dei punti etc, tu hai preso un punto qualsiasi appartenente a $γ$ e hai verificato che soddisfacesse quella determinata proprietà richiesta dall'esercizio, hai notato che hai ottenuto una identità, ossia una equazione sempre valida, e dunque tutti i punti di $γ$ soddisfano una certa proprietà, condizione sufficiente affinché $γ$ sia il luogo cercato. Si tratta appunto di una condizione sufficiente, ma non necessaria, è probabile appunto che esistano altri luoghi geometrici che soddisfino quella proprietà, l'unico modo per esserne certi è appunto considerare un punto qualunque $P(x,y)$ del piano e vedere cosa ne esce fuori. Sicuramente, da come lo chiede l'esercizio, è corretto anche il tuo metodo, ma di certo è più completa e rigorosa una dimostrazione come quella che ti ho proposto io.

La distanza dalla bisettrice non dovrebbe essere, nel tuo esempio, |x−y|? L'equazione della bisettrice è infatti x−y=0

Le distanze sono equivalenti, dipende da come si usa l'equazione della retta infatti, se in funzione di $y$ oppure no:

La distanza di un punto $(x_0, y_0)$ dalla retta $ax+by+c=0$ è :

$d=|ax_0+by_0+c|/sqrt(a^2+b^2)$

Se la retta invece nella forma del tipo: $y=mx+q$ la distanza è:

$d=|y_0-mx_0-q|/sqrt(1+m^2)$

Io ho usato quest'ultima perché ho scritta la bisettrice nella forma $y=x$, ma ripeto sono equivalenti, infatti $|y-x|=|x-y|$

[raffaele1965]

Grazie davvero. Tutto chiaro.
Sei molto bravo.

Raffaele