Isomorfismo tra ${\Z_p[x]}/I$ e $\Z_{p^p}$?

[Rodolfo Medina]

Buongiorno a tutti. Un esercizio mi chiede di stabilire se l'anello quoziente ${\Z_p[x]}/I$, dove $p$ è un numero primo positivo e $I = (f)$ l'ideale di $\Z_p[x]$ generato dal polinomio $f = x^p - 1$ a coefficienti in $\Z_p$, sia o meno isomorfo all'anello $\Z_{p^p}$ degli interi modulo $p^p$. Sono in alto mare. Qualcuno può aiutarmi? Abbiamo già scomposto $f$ in fattori irriducibili come $f = (x - 1)^p$, e sappiamo da un teorema che ${\Z_p[x]}/I$ è finito di ordine $p^p$ in quanto $\Z_p$ è di ordine $p$ ed $f$ è di grado $p$.

Grazie mille!

Rodolfo

[j18eos]

La risposta, dopo i calcoli, è ovviamente no!

Un quoziente di un anello mediante un ideale è un campo se e solo se tale ideale è...

[Rodolfo Medina]

D'accordo, non è un campo. E quindi? Come risponde questo alla domanda? Qui si chiede se l'anello quoziente in questione è isomorfo o meno all'anello $\Z_{p^p}$. Nessuno dei due anelli è un campo.

[j18eos]

Ah scusa, avevo capito che con \(\displaystyle Z_{p^p}\) intendessi il campo finito di ordine \(\displaystyle p^p\)...

Cambio ragionamento: \(\displaystyle I\) non è un ideale massimale, ma è primo?, è primario?

[Rodolfo Medina]

No, non è primo, e quindi?

[j18eos]

No, non è primo, e quindi?

Dovresti sapermelo dire tu... Che informazione ottieni riguardo a quell'anello quoziente?

E comunque, quell'ideale è primario?