Oscuro esercizio sul quoziente dell'anello dei polinomi

[Rodolfo Medina]

Buongiorno a tutti. Non riesco a capire bene la traccia di un esercizio. Esso dice: nell'anello $F[x]$ considerare il polinomio $f = x^2 + 3$, e sia $I = (f)$. Nell'anello quoziente ${F[x]}/I$, posto $\gamma = x + I$, scrivere ogni elemento sotto l'unica forma $a + \gamma b$, con $a, b \in F$, ed esprimere sotto questa stessa forma somma e prodotto di due generici elementi.

Cosa vorrà mai dire?

Grazie di un eventuale aiuto,

Rodolfo

[vict85]

L'anello dei polinomi in una incognita è un dominio euclideo.

[Rodolfo Medina]

Sì, d'accordo, e ciò comporta che ogni elemento di ${F[x]}/I$ possa scriversi in un sol modo nella forma $a x + b + I$. Ma poi in concreto secondo voi cosa vuole l'esercizio?

[Thomas]

esprimere sotto questa stessa forma somma e prodotto di due generici elementi.

Cosa vorrà mai dire?

Grazie di un eventuale aiuto,

Rodolfo

Immagino, dopo che hai dimostrato che ogni elemento si scrive in modo unico come $a \gamma +b$, devi capire cosa sono $a_2$ e $b_2$ in funzione di $a_0,b_0,a_1,b_1$ in un prodotto del tipo:

$(a_0 \gamma +b_0)*(a_1\gamma +b_1)=a_2 \gamma +b_2$

[Rodolfo Medina]

Forse vuole l'elenco bruto di tutti gli elementi di quell'insieme quoziente, scritti in quella forma, e poi le tavole di addizione e di moltiplicazione

[Rodolfo Medina]

Bè, no, già nel caso $F = \Z_7$ avremmo ben 49 elementi, e negli altri casi probabilmente infiniti elementi!

[Thomas]

cerca di fare un caso generale... non farti intimorire....

[Thomas]

e poi le tavole di addizione

comincia da queste che sono estremamente facili....