O grande e equivalenza asintotica

[claudioz94]

Ciao a tutti, vi scrivo per chiedervi qualche consiglio perchè ho qualche problema a studiare la convergenza di integrali di questo tipo (Ho messo l'immagine per fare un esempio), proprio perchè non so come applicare l'equivalenza asintotica nel caso del problema a infinito quando ci sono le funzioni elementari (a 0 si applica sostituendo le funzioni con i primi termini degli sviluppi di taylor, per poi prendere in considerazione la potenza minore).
A infinito si parla di O grande.. potete darmi una mano? Cioè, in questo caso cosa vado a sostituire a arctan? (gli sviluppini si applicano solo quando x tende a 0!).
Vorrei se possibile che mi diciate come devo comportarmi non solo con l'arcotangente ma con tutte le funzioni elementari. Grazie in anticipo!

[ciampax]

I problemi si presentano in $0$ e $+\infty$.
Per $x\to 0^+$ osserva che $\lim_{x\to 0^+}\arctan\frac{5}{t^2}=\frac{\pi}{2}$ da cui
$$\frac{\arctan(5/t^2)}{t^\alpha}\sim\frac{1}{t^\alpha}$$
e l'integrale converge per $\alpha <1$.
Per $x\to+\infty$ abbiamo invece
$$\frac{\arctan(5/t^2)}{t^\alpha}\sim\frac{5/t^2}{t^\alpha}=\frac{5}{t^{2+\alpha}}$$
e l'integrale converge per $2+\alpha>1\ \Rightarrow\ \alpha> -1$. In definitiva l'integrale converge per $-1<\alpha<1$

P.S.:l'asintoticità dell'arcotangente per $x\to +\infty$ viene dal fatto che $5/t^2\to 0$ e che $\arctan(s)$ è equivalente a $s$ per $s\to 0$.

[claudioz94]

Grazie, a quanto pare mi sbagliavo facendo l'inverso, ossia nel problema a 0 facevo l'equivalenza asintotica come hai fatto tu a infinito, mentre a infinito tentavo di risolvere come invece hai risolto tu il problema in 0.
Allora,
il procedimento con problema a infinito lo capisco, ma non riesco a capire come ti muovi quando il problema è 0. Cioè, come hai sfruttato il limite dell'arctan nell'equivalenza? perchè al posto di tutta l'arctan è venuto semplicemente 1?
Questa cosa inoltre vale solo per l'arctan o per altre funzioni? Non sembra un procedimento complicato, voglio solo capire in cosa consiste

[ciampax]

Per $t\to 0$ abbiamo $5/t^2\to +\infty$ e quindi $\arctan(5/t^2)=\pi/2$. Pertanto nel comportamento asintotico tale funzione si comporta come una costante, che puoi assumere anche pari a 1 (tanto è solo uno studio qualitativo, non quantitativo). Il limite è finito in quanto l'arcotangente è limitata tra $(-\pi/2,\pi/2)$. Se proprio vuoi essere pignolo, il confronto asintotico a zero è con la funzione $\pi/{2t^\alpha}$.

[claudioz94]

E se al posto di quell'arcotangente ci fosse per esempio un coseno? O un seno? Anche per loro l'equivalenza asintotica varrebbe 1?

[ciampax]

No, ovviamente. C'è una ben nota "tabella"dei comportamenti asintotici delle funzioni elementari che viene fuori dai limiti notevoli. Ad esempio, dal fatto che
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\ \Rightarrow\ \sin x\sim x,\ x\to 0$$
e in generale,se $f$ è una funzione per cui $\lim_{x\to x_0} f(x)=0$ allora
$$\sin f(x)\sim f(x)$$
e così via.
Però queste sono le basi, che vengono fuori solo dopo aver studiato la teoria... e mi sa che ti sei perso qualcosa, dico bene?