dimostrare che un insieme è chiuso in R^3

Messaggioda ladidely » 23/08/2014, 18:33

Ciao a tutti, ho bisogno del vostro aiuto per riuscire a risolvere un esercizio, è la prima volta che mi imbatto in un problema del genere e non so quale dovrebbe essere il procedimento, mi date una mano?
Provare che l'insieme X è chiuso:
$X= {(x,y,z)\epsilonRR^3 : 2x^2+2y^2+2xy+xz+zy-4x=0, x+y+z=0}$

:-)
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Re: dimostrare che un insieme è chiuso in R^3

Messaggioda Epimenide93 » 23/08/2014, 18:38

Sai già che la controimmagine attraverso una funzione continua di un chiuso è chiusa?
\( \displaystyle \mathbb{C}^{*} \! \cong \mathbb{R}^{+} \! \times \mathbb{R} / \mathbb{Z} \)

\( \displaystyle {\rm Hom}(A \otimes B, C) \cong {\rm Hom}(A, {\rm Hom}(B,C)) \)

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Re: dimostrare che un insieme è chiuso in R^3

Messaggioda ladidely » 23/08/2014, 18:58

:roll: sinceramente no...
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Re: dimostrare che un insieme è chiuso in R^3

Messaggioda Epimenide93 » 23/08/2014, 19:05

In tal caso mi sa che ti tocca dimostrare direttamente che il complementare dell'insieme in questione è aperto (magari scrivendolo opportunamente come intersezione di due insiemi...). O studiare il teorema che ho citato prima.
\( \displaystyle \mathbb{C}^{*} \! \cong \mathbb{R}^{+} \! \times \mathbb{R} / \mathbb{Z} \)

\( \displaystyle {\rm Hom}(A \otimes B, C) \cong {\rm Hom}(A, {\rm Hom}(B,C)) \)

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Re: dimostrare che un insieme è chiuso in R^3

Messaggioda ladidely » 24/08/2014, 09:33

ho cercato il teorema che mi hai indicato, trovo definizioni, dimostrazioni ma nessun esercizio che mi faccia capire come devo agire "praticamente"...
immagino di dover mettere a sistema le due equazioni attraverso cui è definito l'insieme, sbaglio?
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Re: dimostrare che un insieme è chiuso in R^3

Messaggioda Epimenide93 » 24/08/2014, 11:29

ladidely ha scritto:immagino di dover mettere a sistema le due equazioni attraverso cui è definito l'insieme, sbaglio?

Diciamo che non è il modo migliore.

Per applicare il teorema ti servono prima di tutto delle funzioni continue, quindi degli opportuni chiusi del codominio. La traccia ti suggerisce entrambe le cose. Che funzioni abbiamo in gioco?
\( \displaystyle \mathbb{C}^{*} \! \cong \mathbb{R}^{+} \! \times \mathbb{R} / \mathbb{Z} \)

\( \displaystyle {\rm Hom}(A \otimes B, C) \cong {\rm Hom}(A, {\rm Hom}(B,C)) \)

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Re: dimostrare che un insieme è chiuso in R^3

Messaggioda ladidely » 24/08/2014, 11:37

Epimenide93 ha scritto:
ladidely ha scritto:immagino di dover mettere a sistema le due equazioni attraverso cui è definito l'insieme, sbaglio?

Diciamo che non è il modo migliore.

Per applicare il teorema ti servono prima di tutto delle funzioni continue, quindi degli opportuni chiusi del codominio. La traccia ti suggerisce entrambe le cose. Che funzioni abbiamo in gioco?


ok, le due funzioni che definiscono l'insieme sono continue, ma non capisco come utilizzarle :(
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Re: dimostrare che un insieme è chiuso in R^3

Messaggioda Epimenide93 » 24/08/2014, 12:55

L'insieme non è definito solo dalle due funzioni, ma dai punti sui quali le due funzioni assumono un ben preciso valore...
\( \displaystyle \mathbb{C}^{*} \! \cong \mathbb{R}^{+} \! \times \mathbb{R} / \mathbb{Z} \)

\( \displaystyle {\rm Hom}(A \otimes B, C) \cong {\rm Hom}(A, {\rm Hom}(B,C)) \)

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Re: dimostrare che un insieme è chiuso in R^3

Messaggioda ladidely » 24/08/2014, 14:38

Epimenide93 ha scritto:L'insieme non è definito solo dalle due funzioni, ma dai punti sui quali le due funzioni assumono un ben preciso valore...

ovvero?
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Re: dimostrare che un insieme è chiuso in R^3

Messaggioda Epimenide93 » 24/08/2014, 16:37

Stai studiando il luogo degli zeri di quelle funzioni, giusto?
\( \displaystyle \mathbb{C}^{*} \! \cong \mathbb{R}^{+} \! \times \mathbb{R} / \mathbb{Z} \)

\( \displaystyle {\rm Hom}(A \otimes B, C) \cong {\rm Hom}(A, {\rm Hom}(B,C)) \)

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