Integrali e metodo dei residui: esercizi con qualche dubbio

[lobacevskij]

Ho iniziato a svolgere un po' di integrali con il metodo dei residui. Se quelli "normali" non mi danno troppi problemi, quando mi trovo di fronte a quelli con uno o più parametri vado leggermente in crisi. Vorrei iniziare postando un esercizio che ho svolto (credo sia corretto), per vedere se questo è il modo giusto di procedere o se invece mi perdo e la tiro più lunga del necessario.

$\int_{0}^{2\pi} (d\theta)/(1-2acos\theta+a^2)$

con la sostituzione $z=e^(i\theta)$ e detta $\Gamma$ la regione delimitata dall circonferenza di raggio unitario centrata nell'origine del piano complesso, si ha:

$\int_{\Gamma} 1/(1-a(z+1/z)+a^2)(-i/z)dz=i/a\int_{\Gamma} *1/((z-a)(z-1/a))dz$

con $z_0=a$ e $z_0=1/a$ poli del 1° ordine. Detta $f(z)$ la funzione dell'ultimo integrale:

$Res(f(z),a)=\lim_{z \to a}f(z)(z-a)=a/(a^2-1)$
$Res(f(z),1/a)=\lim_{z \to 1/a}f(z)(z-1/a)=a/(1-a^2)$

$\int_{0}^{2\pi} (d\theta)/(1-2acos\theta+a^2)={((2pi)/(a^2-1),per #|a|>1 #text{uso solo il residuo di 1/a}),((2pi)/(1-a^2),per #|a|<1 #text{uso solo il residuo di a}),(text{non calcolabile},per #|a|=1):}$

Il prossimo è invece un integrale, apparentemente innocuo, che mi ha messo in difficoltà:

$\int_{0}^{2\pi} (sen\theta)^(2n) d\theta$

$(sen\theta)^(2n)=((e^(i\theta)-e^(-i\theta))/(2i))^(2n)=(e^(i\theta)-e^(-i\theta))^(2n)/((-1)^n4^n)$

e qui, anche passando alla sostituzione $z=e^(i\theta)$, non so come andare avanti. Qualche consiglio?

[Marie-Sophie]

Ciao!
Come pensavi, il primo esercizio è svolto correttamente.

Per il secondo, sviluppa $(z-1/z)^{2n}$ utilizzando la formula del binomio di Newton

[Marie-Sophie]

$ (sen\theta)^(2n)=((e^(i\theta)-e^(-i\theta))/(2i))^(2n)=(e^(i\theta)-e^(-i\theta))^(2n)/4^n $

Attenzione a quell'ultimo conto, io scriverei :

$ (sen\theta)^(2n)=((e^(i\theta)-e^(-i\theta))/(2i))^(2n)=\frac{(e^(i\theta)-e^(-i\theta))^(2n)}{(-1)^n 4^n} $

[lobacevskij]

Si, assolutamente, me lo son perso per strada..

Conosco quella formula ma ne ho ben poca confidenza. In che modo può tornarmi utile?

[Marie-Sophie]

Ecco qui la formula del binomio di Newton in tutto il suo splendore...

\[
(a+b)^n=
\sum_{\substack{k\in N \\
0\le k\le n}}
\binom{n}{k}a^{n-k} b^k
\]

Nel nostro caso otteniamo:

\[
(z-1/z)^{2n}=
\sum_{\substack{k\in N \\
0\le k\le 2n}}
\binom{2n}{k} z^{2n-k} (-1/z)^k=
\sum_{\substack{k\in N \\
0\le k\le 2n}}
(-1)^k \binom{2n}{k} z^{2n-2k}
\]

Pertanto, l'integrale che devi calcolare è
\[
\int_{\Gamma} \sum_{\substack{k\in N \\
0\le k\le 2n}}
(-1)^k \binom{2n}{k} z^{2n-2k} (-i/z)dz=-i\int_{\Gamma}\sum_{\substack{k\in N \\
0\le k\le 2n}} (-1)^k \binom{2n}{k} z^{2n-2k-1}dz.
\]

L'integrale è lineare, quindi resta da calcolare una somma di integrali. Fortunatamente, uno solo degli addendi della somma è non nullo. Quale? Perché?

[lobacevskij]

Ti ringrazio per la spiegazione, molto chiara.

La conclusione dovrebbe essere che sono nulli tutti gli integrali tranne quello per $n=k$, il cui termine da come residuo $1$. A questo punto, mettendo assieme i vari elementi dovrei avere:

$\int_{0}^{2\pi} (sen\theta)^(2n) d\theta=-i/((-1)^n4^n)\int_{\Gamma}(-1)^n((2n)!)/(n!n!)z^-1dz=(2pi)/4^n((2n)!)/(n!n!)$

[Marie-Sophie]

Tutto giusto!

[lobacevskij]

Grazie infinite

Detto che sono riuscito a risolvere un bel po' degli integrali parametri che mi creavano problemi, ancora non riesco a risolverne un paio. Uno è questo:

$\int_{0}^{2pi} (sen\theta)^2/(a+bcos\theta) d\theta$ con $a>b>0$

Ho provato con la classica sostituzione $z=e^(i\theta)$ dopo aver espresso le funzioni trigonometriche in termini di esponenziali, ma arrivo a trovare che la funzione ha le singolarità in:

$z_0=0$ (polo 2° ordine), che ricade all'interno della circonferenza $\Gamma$ di raggio unitario centrata nell'origine del p.c.
$z_0=-(a\pmasqrt(1-(b/a)^2))/b$, poli del 1° ordine

Il problema è che ho dei dubbi sul fatto che siano o meno interni a $\Gamma$. Da $a>b>0$ so che il determinante è reale e compreso tra $0$ e $1$, e dunque detta $y$ la sua radice ho che $0<y<1$. A meno del segno iniziale, la soluzione con il "$+$" dovrebbe essere esterna, perchè $(a+ya)>b$; quella con il "$-$" è interna/sul bordo solo se $a(1-y)<=b$, e quindi dovrei andare a risolvere la disequazione. Probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua e non mi accorgo della semplicità della cosa, ma prima di andare avanti vorrei un vostro parere. Magari sto solo facendo un sacco di conti e non vedo che tutto si può risolvere molto più facilmente.

[Marie-Sophie]

Da $ a>b>0 $ so che il determinante è reale e compreso tra $ 0 $ e $ 1 $, e dunque detta $ y $ la sua radice ho che $0<y<1$. A meno del segno iniziale, la soluzione con il "$ + $" dovrebbe essere esterna, perchè $ (a+ya)>b $;

Giusto.

Per l'altra domanda...Beh, risolvendo la disequazione di certo non sbagli!
D'altronde, come avevi intuito,mi pare si possa chiudere la faccenda in modo più celere:

$ z_0=-(a-a\sqrt(1-(b/a)^2))/b= - a/b (1- \sqrt(1-(b/a)^2))= -a/b( (1-1+(b/a)^2)/(1+\sqrt(1-(b/a)^2)))$

Si ottiene così:

$(-b/a)/(1+\sqrt(1-(b/a)^2))$

che ha palesemente modulo minore di 1.

In realtà, la forma in cui hai scritto le radici ha allungato i conti. Non raccogliendo la ''a'' e utilizzando lo stesso artificio si perveniva subito alla conclusione.

[lobacevskij]

Grazie, leggo ora il tuo messaggio ed è la conferma di un'analoga intuizione che ho avuto oggi. In pratica ho riscritto l'integrale di partenza in questo modo:

$\int_{0}^{2\pi} (sen\theta)^2/(a+bcos\theta)d\theta=1/a\int_{0}^{2\pi} (sen\theta)^2/(1+kcos\theta)d\theta=i/(2a)\int_{0}^{2\pi} ((z^2-1)^2)/(z^2(kz^2+2z+k))$

con $k=b/a$. Non che tutto questo mi abbia fatto diminuire di molto i conti, ma sono arrivato alla tua stessa conclusione notando che l'unico $z_0$ (oltre al solito $z_0=0$ che non da problemi) interno è:

$(-1+sqrt(1-k^2))/k=(1-(1-k^2))/(-k(1+sqrt(1-k^2)))=-k/(1+sqrt(1-k^2))$

che, come dicevi anche tu, ha modulo minore di $1$. Sono andato anche avanti ed ecco qua i risultati:

$Res(f,0)=-2/k^2$
$Res(f,(-1+sqrt(1-k^2))/k)=(2sqrt(1-k^2))/k$

quest'ultimo calcolato con wolfram, perchè diventava una cosa abbastanza improponibile (o sono io che non vedo delle possibili semplificazioni che me lo renderebbero quantomeno maneggiabile?)
Ad ogni buon conto, passando al calcolo ottengo:

$\int_{0}^{2\pi} (sen\theta)^2/(a+bcos\theta)d\theta=i/(2a)(2pii((2sqrt(1-k^2))/k-2/k^2))=((2a)/b^2-(2sqrt(a^2-b^2))/(ab))pi$

Purtroppo facendo varie prove con valori di $a$ e $b$, wolfram mi da risultati diversi da quelli previsti dalla formula. Andando a cercare quella "giusta" (a volersi fidare di wolfram), ho capito che è:

$((2a)/b^2-(2sqrt(a^2-b^2))/(b^2))pi$

che verrebbe giusta se il secondo residuo fosse $(2sqrt(1-k^2))/k^2$. Dando per buoni i conti fatti dal programma, sembra che da qualche parte io perda per strada un fattore $k$, ma anche ricontrollando non sono riuscito a trovare dove sbaglio.