Derivata di funzione composta in più variabili

[lorenzocoppinorcini]

Salve a tutti,
Sono uno studente del primo anno di ingegneria informatica e sto preparando l'esame di analisi matematica II , questo è uno degli esercizi più ricorrenti negli esami passati.

Siano $f(x,y,z)$, $(x,y,z) ∈ R3$ una funzione di classe $C1$ e $γ(t) : [a,b] → R2$, $γ(t) = (a(t),b(t))$, una curva di classe $C1$. Calcolare, se possibile,

$(del)/(delt)$ $f(t , a(t) , b(t))$

Non ho sinceramente idea di come fare,
Grazie in anticipo

[stormy]

in generale,data una funzione $F(t)=f(a(t),b(t),c(t))$ si ha
$F'(t)=f_x[a(t),b(t),c(t)]a'(t)+f_y[a(t),b(t),c(t)]b'(t)+f_z[a(t),b(t),c(t)]c'(t)$

[lorenzocoppinorcini]

Ok,
Quindi nel caso specifico avrei:
$(del)/(delt)$ $f(t , a(t) , b(t))$ = $f(t , a(t) , b(t)) + f(t , a(t) , b(t))a'(t) + f(t , a(t) , b(t))b'(t)$
?

[stormy]

yes
però,non scrivere $ (partial)/(partial t) $ ma $d/(dt)$

[lorenzocoppinorcini]

All right! Grazie mille!

[lorenzocoppinorcini]

Solo una cosa non capisco, per quale motivo viene definita anche la funzione $γ$ se tanto poi non influisce su la derivata?

[maCrobo]

Per rispondere alla tua ultima curiosità; se ci fai caso puoi scrivere:
\[
grad (f) = (\frac{\partial f}{\partial t} , \frac{\partial f}{\partial a} , \frac{\partial f}{\partial b} )
\\
\vec{v} = ( \frac{\partial t}{\partial t} , \frac{\partial a}{\partial t}, \frac{\partial b}{\partial t} ) = ( 1 , \frac{\partial a}{\partial t}, \frac{\partial b}{\partial t} ) = ( 1, \frac{d \vec{\gamma (t)}}{d t} )
\\
\to grad (f) \cdot \vec{v} = \frac{D f}{D t} = \frac{\partial f}{\partial t} +( \frac{\partial f}{\partial a} , \frac{\partial f}{\partial b} ) \cdot (\frac{\partial a}{\partial t}, \frac{\partial b}{\partial t}) = \frac{\partial f}{\partial t} + ( \frac{\partial f}{\partial a} , \frac{\partial f}{\partial b} ) \cdot \frac{d \vec{\gamma (t)}}{d t}
\]
Dove $\vec{v}$ indica solo un vettore le cui componenti sono le derivate nel tempo delle tre variabili indipendenti della funzione $f$.
Poniamo il caso io voglia chiamare $\nabla f$ il gradiente rispetto soltanto ad $ a $ e $b$, allora potrò scrivere:
\[
\frac{D f}{D t} = \frac{\partial f}{\partial t} + \vec{\nabla f} \cdot \frac{d \vec{\gamma (t)}}{d t}
\]
A questo punto puoi notare varie cose:

- la derivata è un numero, in analisi 1 è chiaro, è la pendenza della tangente alla curva in un punto; questa caratteristica si conserva anche nelle funzioni a più variabili solo che in questo caso per ottenere il numero devi proiettare il gradiente lungo la direzione che ti interessa, o anche, lungo un percorso che ti interessa, ovvero $\vec{v}$, ed otterrai la pendenza del cammino individuato dal percorso;

- $\gamma (t)$ è un percorso nello spazio, quindi una linea curva, e $\frac{d \vec{\gamma (t)}}{d t}$ è la velocità del moto lungo il percorso $\gamma (t)$ ed è sempre tangente al percorso stesso, quindi se moltiplichi scalarmente un gradiente (nel nostro caso non il vero gradiente della funzione) per la velocità avrai la sua proiezione sul percorso e potrai risalire alla derivata nel tempo lungo il percorso (un numero);

- in questo caso specifico $f$ è un tipo di funzione che ritroverai sicuramente in fisica prima o poi (la prima volta capita appena inizi a fare un corso di fluidodinamica) che definisce una certa proprietà $f$ in funzione del tempo $t$ e dello spazio $(a,b)$ in questo caso ($(x,y)$ se ti viene più comodo da visualizzare), infatti $f=f(t,a,b)$; questa definizione è molto comoda in certi casi proprio perché ti permette di descrivere come si comporta la variazione di una certa proprietà in un punto (il numero che ci dice la pendenza) separando la variazione nel tempo e quella nello spazio; per fare un esempio, immagina un rettangolo, all'interno ci mettiamo l'intensità di un campo elettromagnetico: prendi due punti infinitesimamente vicini A e B ad un tempo $t_0$, allora può essere che in A l'intensità sia $I$ e in B sia $i$, quindi solo a causa della posizione c'è una variazione di intensità, può anche essere, però che con lo scorrere del tempo sia A che B aumentino o diminuiscano e allora con il passare del tempo c'è una variazione di intensità; per descrivere la variazione totale allora dovrai sommare le due appena descritte: quella dovuta allo scorrere del tempo in A e B è data da $\frac{\partial f}{\partial t}$, mentre l'altra è $\vec{\nabla f} \cdot \vec{velocità}$, dove la velocità è un vettore che indica la tangente al percorso tra A e B (essendo A e B infinitamente vicini, il percorso è approssimative ad un segmentino parallelo alla velocità).

Credo che avere chiaro almeno i primi due punti sia fondamentale per l'analisi multidimensionale.