Integrali generalizzati

[Zumbo]

$ int_(-1)^(1) 1/(x+e^x) dx $ Mi aiutate a stabilire quando convergono questi due integrali impropri??? $ int_(0)^(+oo) e^(-x^2) dx $


Per quanto riguarda il primo credo che si risolva per confronto infatti vorrei solo una conferma per quanto riguarda il secondo nons o proprio da dove partire :S

Anche i seguenti:
$ int_(-1)^(1) 1/(x+e^x) dx $

$ int_(1)^(+oo) logx/(x-1)^(2/3) dx $

[Brancaleone]

Ciao Zumbo.
Il primo integrale è improprio, poiché nell'intervallo considerato il denominatore si annulla in un punto - facilmente verificabile per via grafica. Si spezza allora l'integrale in due parti:

\[\int_{ - 1}^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x + {e^x}}}} = \int_{ - 1}^{{t_0}} {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x + {e^x}}}} + \int_{{t_0}}^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x + {e^x}}}} \]

dove $t_0$ è il punto in cui il denominatore si annulla.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

L'integrale non converge, infatti calcolando uno qualunque tra i limiti sinistro e destro dell'integranda per $x->t_0$ attraverso Taylor si ottiene:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to t_0^ - } \frac{1}{{x + {e^x}}} = \frac{1}{{\underbrace {x + {e^{{t_0}}}}_{ = 0} + {e^{{t_0}}}\left( {x - {t_0}} \right) + o\left( x \right)}} = - \infty {\text{ di ordine }}1 \to {\text{diverge}}\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to t_0^ + } \frac{1}{{x + {e^x}}} = \frac{1}{{\underbrace {x + {e^{{t_0}}}}_{ = 0} + {e^{{t_0}}}\left( {x - {t_0}} \right) + o\left( x \right)}} = + \infty {\text{ di ordine }}1 \to {\text{diverge}}\]

[Zumbo]

Capito.Grazie infinite:). mi sapresti dare qualche dritta anche sugli altri? quello e^(-x^2) credo si risolva per confronto!

[Brancaleone]

Capito.Grazie infinite:). mi sapresti dare qualche dritta anche sugli altri? quello e^(-x^2) credo si risolva per confronto!

Una parola: Gauss

[Zumbo]

Che significa Gauss.. l'ho sentito solo in algebra lineare?!

[Brancaleone]

Perdonami, ma se puoi scrivere qui significa che puoi girare per Internet, no? Una ricerca veloce di 10 secondi potevi anche farla prima di domandare cosa significhi Gauss... Cerca di sfruttare i suggerimenti che ti vengono dati, non farti continuamente imboccare!

[Zumbo]

Non porta niente sul web... porta cose di algebra che nn credo centrino.. è un modo equivalente di chiamare il th del confrontto???

[Brancaleone]

Non porta niente sul web... porta cose di algebra che nn credo centrino..

...controlla meglio Ovvio che in questo problema non ti interessano i contributi di Gauss nell'algebra: stai affrontando un integrale, giusto?

è un modo equivalente di chiamare il th del confrontto???

Assolutamente no.