Non è un numero primo

[Gi8]

Siano $a,b$ interi positivi tali che esiste $c in ZZ$ : $c^2+a c+b=0$
Dimostrare che $a^2 +(b-1)^2$ è un numero composto.

[Pachisi]

Da \(\displaystyle c^2+a c+b=0\), si deduce che deve essere \(\displaystyle c+a=-\frac{b}{c}\), e dunque \(\displaystyle c\neq 0\).
Essendo \(\displaystyle c+a\) ovviamente un intero, lo dovra` essere anche \(\displaystyle -\frac{b}{c}\), e quindi deve essere \(\displaystyle b=kc\), dove \(\displaystyle k\) e` un intero non uguale a zero, dovendo essere \(\displaystyle b\) ed \(\displaystyle a\) interi positivi.
Sostituendo \(\displaystyle b=kc\) nella relazione iniziale, troviamo che \(\displaystyle a=-k-c\).

Ora sostituisco \(\displaystyle a=-k-c\) e \(\displaystyle b=kc\) in \(\displaystyle a^2+(b-1)^2\). Semplificando, si ha:
\(\displaystyle k^2+c^2+k^2c^2+1\), che diventa, fattorizzando, \(\displaystyle (k^2+1)(c^2+1)\). L'unico modo nel quale questo numero puo` essere primo e` quando \(\displaystyle k=0\) oppure \(\displaystyle c=0\). Tuttavia, come detto prima \(\displaystyle c \neq 0\) e \(\displaystyle k \neq 0\), dunque segue che \(\displaystyle (k^2+1)(c^2+1)\) deve essere composto, e quindi lo sara` anche \(\displaystyle a^2+(b-1)^2\).

[Gi8]

Va tutto bene, tranne la prima riga. Non puoi giustificare che $c!=0$ passando da $c(c+a) = -b$ a $c+a = -b/c$, perchè questo passaggio può essere fatto solo se si assume $c!=0$.

Ma che $c!=0$ è immediato. Se per assurdo $c=0$ si ha $b=0$, contro l'ipotesi.

[Pachisi]

Giusto, hai ragione. Grazie.

[ciromario]

Io avrei una soluzione analoga a quella di Pachisi ma lievemente più semplice. Forse...
Abbiamo $b=-c^2-ac$ con c non nullo [come giustamente già affermato da Pachisi]
e nemmeno uguale a $-a$ [questo lo dico io ]
Sostituendo nell'altra relazione :
$a^2+(b-1)^2=a^2+(c^2+ac+1)^2=(c^2+a^2+2ac)+c^2(c^2+a^2+2ac)+(1+c^2)=(c+a)^2(1+c^2)+(1+c^2)=(1+c^2)[(c+a)^2+1]$
Poiché nessuno dei due fattori $1+c^2$ e $(c+a)^2+1$ può essere =1, ne segue l'assunto.