Verifica limiti con definizioni

[luke1996]

Buongiorno, ho un dubbio sulla soluzione di questo limite per x che tende a -2:
$lim$ $(x+4)/x=-1$
x-> -2

da risolvere applicando la definizione.
$|((x+4)/x)+1|<\epsilon$
risolvo le due disequazioni e ottengo:
$x<(-4+\epsilon)/2$ e $x<\epsilon$ ; $x>(-4-\epsilon)/2$ e $x> -\epsilon$
A questo punto come devo ragionare per evidenziare l'intorno di -2?
ossia
$x<(-4+\epsilon)/2$ ; $x>(-4-\epsilon)/2$ mi danno l'intorno di -2 ma di

$x<\epsilon$ e $x> -\epsilon$ che ne faccio?

[kobeilprofeta]

Ma le due disequazioni vanno messe a sistema, perchè deve risultare $-\epsilon<f(x)<\epsilon$.

[kobeilprofeta]

E poi:
$|((x+4)/x)+1|<\epsilon$
$|1+4/x+1<\epsilon$
$4/x<\epsilon-2$ e $4/x> -\epsilon-2$
$x>4/(\epsilon-2)$ e $x<-(4/(\epsilon+2))$.

Magari sbaglio io, ma controlla.

[giammaria]

Attento, kobeilprofeta! Consideriamo la tua prima disequazione, che è simile a $4/x<-2$: non puoi capovolgerla direttamente scrivendo $x/4> -1/2->x> -2$ perché non sai il segno di $x$. Se fai tutti i calcoli trovi che la soluzione è $-2<x<0$. Discorso analogo per l'altra disequazione.

I miei calcoli sono:
$|(2x+4)/x|<epsilon" "->" "-epsilon<(2x+4)/x<epsilon$
Dalla prima diseguaglianza ricavo
$(2x+4+epsilon x)/x>0" "->" "x<-4/(2+epsilon)vvx>0$
e lavorando analogamente dalla seconda ho $-4/(2-epsilon)<x<0$
Metto poi a sistema e concludo con $-4/(2-epsilon)<x<-4/(2+epsilon)$

[kobeilprofeta]

Lo sapevo che avrei scritto una cavolata... Scusate, ero distratto.

[luke1996]

Anche io mi ero inventato un calcolo strano....e non mi tornavano i conti. Ora è chiaro.
Vi propongo questo limite ... non mi tornano i calcoli:
$lim (1/x +x-3)=-1$
x-> 1
facendo il valore assoluto $<epsilon$ , scindendo le due equazioni ecc... ottengo una equazione di secondo grado ma non riesco a portarla avanti , sicuramente sbaglio qualcosa. Grazie

[kobeilprofeta]

Posta i passaggi che hai fatto fino a dove ti blocchi. Poi ti aiutiamo noi...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

se non faccio altre ca**ate

[luke1996]

Allora ho fatto come segue

$(1/x+x-3+1)<epsilon$ e $(1/x+x-3+1)>epsilon$
lavoro sulla prima
$1/x+x-2-epsilon<0$

$(x^2-(2+epsilon)x+1)/x<0$


$Delta=(2+epsilon)^2-4$ = $epsilon(epsilon+4)$
$x<0$


$x1=((2+epsilon+sqrt(epsilon(epsilon+4)))/2)$

$x2=((2+epsilon-sqrt(epsilon(epsilon+4)))/2)$
prendo i valori interni a x1 e x2 , metto a sistema con x<0 e prendo i valori dove è negativo il rapporto ossia sempre interni a x1 e x2
stesso lavoro per $(1/x+x-3+1)>epsilon$
prendo valori esterni
ma l'intersezione tra le due disequazioni non mi da un intorno di 1

[giammaria]

Nella prima disequazione tu hai imposto $N<0, D<0$ mentre la regola è imporre $N>0,D>0$ qualunque sia il verso della disequazione frazionaria in esame. Comunque questo non altera il risultato, che è
$x<0" " vv" "x_2<x<x_1$
La seconda disequazione va corretta in $1/x+x-3+1> -epsilon$ ed è questo errore che impedisce di ottenere il risultato.

[luke1996]

ok sul primo punto ... N>0 D>0 grazie.
Nella seconda disequazione rifacendo bene i calcoli mi viene il $Delta<0$, quindi considero solo la prima disequazione e ottengo l'intervallo di 1?