limiti con valore assoluto

[alessandrof10]

ragazzi svolgendo diversi limiti mi sono imbattuto in funzioni con valori assoluti. cercando quindi sul libro un metodo per svolgerli ho letto che se il limite $x->x_0$ e $x_0$ e un valore finito allora il modulo della funzione deve essere riscritto sia nella parte positiva che negativa e svolgere i limiti separatamente per x che tende a $x_0^+$ e $x_0^-$se i due limiti sono uguali allora il limite del modulo esiste altimenti non esiste.

nel caso invece il limite tende a valori infiniti come dovrei comportarmi ??? devo fare lo stesso procedimento ?? cioè cosinderare la parte positiva e la parte negativa e fare i limiti tendenti a $+infty$ e $-infty$ ???

[Brancaleone]

Ciao alessandro.

se il limite $x->x_0$ e $x_0$ e un valore finito allora il modulo della funzione deve essere riscritto sia nella parte positiva che negativa e svolgere i limiti separatamente per x che tende a $x_0^+$ e $x_0^-$se i due limiti sono uguali allora il limite del modulo esiste altimenti non esiste.

Questo è il metodo da adottare se nel punto in questione il valore assoluto si annulla, altrimenti risolvi il modulo e lo studi "senza troppi problemi".

nel caso invece il limite tende a valori infiniti come dovrei comportarmi ??? devo fare lo stesso procedimento ?? cioè cosinderare la parte positiva e la parte negativa e fare i limiti tendenti a $+infty$ e $-infty$ ???

Dipende dove tende la variabile e dove l'espressione del valore assoluto è positiva/negativa. 2 esempi banali:

$|-x|={ ( -x if x <0 ),( x if x>=0 ):}$

$=>lim_(x->-oo) |-x|=-x=+oo$

$=>lim_(x->+oo) |-x|=x=+oo$

[alessandrof10]

nel esempio che tu hai citato se i limiti non dovessero essere uguali cioe uno e $+infty$ e l altro $-infty$ affermo che il limite non esiste.

per esempio
$\lim_(x->+infty) e^(-|x+1|)+2e^(-|x-4|)$ in questo caso visto che tende a piu infinito considero solo la parte positiva dei moduli oppure è un errore ???

perche per giusta formalità matematica dovrebbe diventare (se non ho capito male quello che tu dicevi)

$\lim_(x->+infty) e^(-x-1)+2e^(-x-4)=0$ e
$\lim_(x->-infty) e^(x+1)+2e^(x+4)=0$

visto che i due limiti sono finiti e uguali allora il limite esiste e vale $0$ giusto ?? va bene come ho fatto ??

[Brancaleone]

nel esempio che tu hai citato se i limiti non dovessero essere uguali cioe uno e $+infty$ e l altro $-infty$ affermo che il limite non esiste.

[dopo l'esempio]

visto che i due limiti sono finiti e uguali allora il limite esiste e vale $0$ giusto ?? va bene come ho fatto ??

Sono due limiti diversi, uno per $x->+oo$ e l'altro per $x->-oo$: come sarebbe a dire che se questi due sono diversi il limite non esisterebbe? $+oo$ e $-oo$ non sono la stessa cosa...

$\lim_(x->+infty) e^(-|x+1)+2e^(-|x-4|)$
[...]
$\lim_(x->+infty) e^(-x-1)+2e^(-x-4)=0$
$\lim_(x->-infty) e^(x+1)+2e^(x+4)=0$

In realtà il primo diventa

$lim_(x->+infty) e^(-x-1)+2e^(4-x)$

mentre il secondo

$lim_(x->-infty) e^(x+1)+2e^(x-4)$

[alessandrof10]

tralasciando il secondo limite che mi sono confuso quello con $-infty$infatti sono due limiti diversi .invece ti vorrei chiedere perche in quello con $+infty$ tu hai voluto dire che

$\lim_(x->+infty) e^(-|x+1|)+2e^(-|x-4|)=\lim_(x->+infty) e^(-x-1)+2e^(-x+4)$

perche hai considerato solo la parte positiva del modulo ???

non dovresti considerare anche il $\lim_(x->+infty) e^(x+1)+2e^(x-4)$??

[Brancaleone]

$\lim_(x->+infty) e^(-|x+1|)+2e^(-|x-4|)=\lim_(x->+infty) e^(-x-1)+2e^(-x+4)$

perche hai considerato solo la parte positiva del modulo ???

Perché per $x> -1$ entrambi gli argomenti sono positivi.

[alessandrof10]

se invece quello stesso limite tendeva a $-infty$ dovevo considerare la parte negativa giusto ???

$\lim_(x->-infty) e^(-|x+1|)+2e^(-|x-4|)=\lim_(x->-infty) e^(x+1)+2e^(x-4)$

[Brancaleone]

Certamente.

[alessandrof10]

grazie delle risposte pero ancora non ho capito l errore cioè se io considero il limite $x->+infty$ perche è sbagliato considerare la parte negativa ?? attenendomi dalla definizione di modulo di una funzione in essa e compresa sia la parte positiva della funzione e quella negativa perche quando vado a fare il limite a + infinito è corretto solamente prendere la parte positiva. scusami se sono insistente su le cose ma i dubbi voglio togliermeli e capire le cose non voglio essere un mulo che si impara le cose cosi senza sapere da dove vengono e perche vanno fatte in quel modo

[Brancaleone]

se io considero il limite $x->+infty$ perche è sbagliato considerare la parte negativa?? attenendomi dalla definizione di modulo di una funzione in essa e compresa sia la parte positiva della funzione e quella negativa perche quando vado a fare il limite a + infinito è corretto solamente prendere la parte positiva.

Allora: la definizione standard di valore assoluto è

$|x|={ ( x if x>=0 ),( -x if x<0 ):}$

Prendiamo la funzione $f(x)$ definita in questo modo:

$f(x)=|g(x)|={ ( g(x) if g(x)>=0 ),( -g(x) if g(x)<0 ):}$

Cosa significa? $f(x)$ segue una delle due strade a seconda del segno di $g(x)$, in modo tale da rispettare sempre la condizione $f(x)>=0$

Se $g(x)>0$ nell'intervallo $(x_0, +oo)$, è ovvio che per calcolare il limite per $x->+oo$ dovremo scegliere la strada positiva:

$lim_(x->+oo) f(x)=|g(x)|=g(x)$

Se invece nello stesso intervallo $g(x)<0$ dovremo scegliere l'altra strada:

$lim_(x->+oo) f(x)=|g(x)|=-g(x)$

Tornando al tuo limite:

$lim_(x->+oo) e^(-|x+1|)+2e^(-|x-4|)$

hai

$|x+1|={ ( x+1 if x>= -1 ),( -x-1 if x< -1 ):} qquad qquad |x-4|={ ( x-4 if x>= 4 ),( 4-x if x< 4 ):}$

Per $x->+oo$ dobbiamo prendere in entrambi i valori assoluti la parte positiva, e quindi il limite diventa:

$lim_(x->+oo) e^(-|x+1|)+2e^(-|x-4|)=e^(-(x+1))+2e^(-(x-4))=e^(-x-1)+2e^(4-x)$

mentre per $x-> -oo$ dobbiamo prendere la parte negativa:

$lim_(x->-oo) e^(-|x+1|)+2e^(-|x-4|)=e^(-(-x-1))+2e^(-(4-x))=e^(x+1)+2e^(x-4)$