Lipschitzianeità

[Nicocata]

$ f(x)=-1/x+x+sinx $

Di questa funzione dovrei studiare la lipsichitzianeità nell'intervallo di estremi 0 e 1 (zero escluso) e poi nell'intervallo di estremi 1 +infinito.

Nel primo caso non lo dovrebbe essere perché la funzione non è limitata nell'intervallo in cui deve essere studiata.
Nel secondo caso non so come procedere perché il limite per x che tende a più infinito della derivata non sono in grado di calcolarlo, anzi non esiste e quindi non riesco a capire se sia limitata o meno.

Qualcuno puo' aiutarmi? Grazie

P.S. $ f'(x)=1/x^2+1+cosx $

[Rigel]

Non c'è bisogno di calcolare il limite della derivata; devi solo fare vedere che essa è limitata nella semiretta in questione.

[Nicocata]

Come lo dimostro?

[Rigel]

Hai che
\[ 0 < \frac{1}{x^2} \leq 1,\quad\forall x\geq 1,\qquad |\cos x| \leq 1,\quad\forall x,\]
dunque usando la disuguaglianza triangolare e queste stime si ha
\[|f'(x)| \leq \frac{1}{x^2} + 1 + |\cos x| \leq 1 + 1 + 1 = 3,\quad \forall x\geq 1.\]

[Nicocata]

Grazie! Più semplice di quello che pensavo