Dominio di funzioni a due variabili

[Mr.Mazzarr]

Dovendo studiare delle forme differenziali, mi trovo a dover calcolare il dominio al principio dell'esercizio.
Spesso risulta semplice, altre volte meno. Non ho ancora acquisito la padronanza necessaria per calcolare i domini con sicurezza. Vi pongo l'esercizio che devo fare:

$(e^x)/y - (e^y)/(x^2)$

Ora, posso porre $yx^2 != 0$ ? Oppure i due denominatori devo studiarli separatamente ?
Il dominio è semplicemente $RR^2$ eccetto $x = 0$ e $y = 0$ ?

Vi ringrazio per le risposte future.

[billyballo2123]

Che tu ponga $yx^2\ne 0$ o che tu studi i due denominatori separatamente, il risultato non cambia: ottieni sempre $x\ne0$ e $y\ne 0$. In pratica per qualunque punto $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ che non stia sugli assi cartesiani (dunque $x\ne 0$ e $y\ne 0$) l'espressione
$\frac{e^x}{y}-\frac{e^y}{x^2}$
ha senso.

[axpgn]

Giusto, però sarebbe meglio studiarli separatamente (a parte il fatto che è più facile); sia mai che ti capiti qualcosa del genere $a/(1/x)+b/x$ e ne concludi che il dominio è tutto $RR$ ...

[Mr.Mazzarr]

Ah ottimo, grazie mille.

Caso un po' più difficle:

$1/(sqrt(1-xy^2))$

Suppongo sia un sistema del genere:

${(sqrt(1-xy^2) != 0),(1-xy^2 >= 0):}$

Ma non so proseguire sinceramente.

[axpgn]

Corretto il sistema ma basta questa $1-xy^2>0$

Proseguendo si ha che $1>xy^2\ \ =>\ \ 1/y^2>x$

[lobacevskij]

Pensala così; se dovessi definire il dominio di $f(x)=1/sqrt(1-x)$, faresti il sistema:

${(sqrt(1-x)!=0),(1-x>0):}$

(tra l'altro $>$, non certo $>=$, visto che non vuoi che si annulli) o scriveresti un'altra cosa? Insomma, pensa cosa comporta il porre maggiore di zero il termine sotto radice.

[Mr.Mazzarr]

Si giusto, alla fine si limita tutto a $1 - xy^2 > 0$.
Ma ciò che non ho capito è, una volta ottenuto il valore $1/y^2 > x$, come lo scrivo il dominio ? Oppure devo capire che grafico ha questa funzione e da qui definire il dominio ?


Un altro caso è questo:

$1/sqrt((x-1)^2 + y^2)$

Ho semplicemente posto $(x-1)^2 + y^2 > 0$, cioè $(x-1)^2 > - y^2$.
Ora, considerando che abbiamo un quadrato maggiore di un valore negativo, io suppongo che il dominio in tal caso sia tutto $RR^2$ perchè il quadrato è sempre positivo. O sbaglio ?

[axpgn]

Beh, ci sarebbe un punto che non sta nel dominio ...

Non ho idea di come si scriva il dominio però penso che sia sufficiente una cosa così ...
$D={(x,y) in RR^2:1/y^2>x}$

[Mr.Mazzarr]

Il punto che non appartiene al dominio è ovviamente $(1, 0)$, giusto ?

[axpgn]

Sì, e quindi il dominio NON è tutto $RR^2$ ...