Differenziabilità di una funzione

[Fraccio]

Salve, mi sono imbattuto in questa funzione:

$ f(x, y)=root(3)(x^2(y-1))+1 $

La traccia dice di studiare la differenziabilità di $f$ in $ (0, 1) $ mediante la definizione e le coordinate polari. Come mi devo comportare?

[Seneca]

Come da regolamento comincia a impostare qualche ragionamento o qualche idea... ti invito almeno a provare a scrivere la definizione richiesta.

[Fraccio]

Studiare la differenziabilità in $ (1, 0) $ secondo la definizione vuol dire praticamente svolgere questo limite, ottenuto dopo svariati calcoli:

$ lim_((h,k) -> (0, 0)) root(3)(hk^2)/sqrt(h^2+k^2) $

La traccia, da quel che ho capito, chiede di svolgerlo attraverso le coordinate polari... Ma il limite è in $ (h, k) $, non in $ (x, y) $, quindi come si può svolgere il limite con il cambiamento di variabili?

[ciampax]

$h=\rho\cos\theta,\ k=\rho\sin\theta$. Quale è il problema? Lo sai che le variabili sono "mute"? (cioè potresti sostituire alla $x$ il testo intero della Divina Commedia e alla $y$ Ufo Robot Goldrake, e sempre variabili restano).

[Fraccio]

Ahahah, perfetto, dunque il limite dovrebbe diventare:

$ lim_(rho -> 0^+) root(3)((rhocostheta*rho^2sen^2theta)) / ((sqrt(rho^2cos^2theta+rho^2sen^2theta))) = lim_(rho -> 0^+) rhoroot(3)((costheta*sen^2theta)) / (rho) = lim_(rho -> 0^+) root(3)((costheta*sen^2theta) ) $

che non dipende da $ rho $, quindi il limite non esiste e $ f $ non è ivi differenziabile. Giusto?

[ciampax]

Esatto... ma più che dire "non dipende da $\rho$" l'espressione corretta è che "non è uniforme rispetto a $\rho$" (che in soldoni vuol dire che varia al variare di $\theta$).

[Fraccio]

Perfetto!