Misura $sigma$-finita

[EdmondDantès]

Si tratta di un esercizio, (non troppo astratto!) di Teoria della Misura:

Sia \(\displaystyle X \) un insieme non vuoto e si definisce la misura (positiva) su \(\displaystyle (X, \mathcal{P}(X)) \):
\(\displaystyle \mu(E)=sup\{ \sum_{x \in F} f(x) : F \subseteq E, F finito\} \).
Dimostrare che, se (hp1) \(\displaystyle f(x) < + \infty \ \ \forall x \in X \) e se (hp2) l'insieme \(\displaystyle \{x \in X : f(x)>0\} \) è al più numerabile, allora \(\displaystyle \mu \) è \(\displaystyle \sigma \)-finita.

Per mostrare che \(\displaystyle \mu \) è \(\displaystyle \sigma \)-finita, occorre esibire una collezione numerabile di insiemi misurabili \(\displaystyle E_{n} \) (cioè sottoinsiemi di \(\displaystyle X \)), t.c. (a) \(\displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N} } E_{n} = X \) e (b) \(\displaystyle \mu(E_{n})<+\infty \ \ \forall n \in \mathbb{N} \) .
Io ho considerato gli insiemi:
\(\displaystyle I_{0} = \{x \in X : f(x)=0\} = E_{1}; \)
\(\displaystyle I_{n} = \{x \in X : 0<f(x)\leq n\} = E_{n+1}, \ \ \forall n=1,2,3,... \)

(a)
(a.1.) \(\displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N} } E_{n} \subseteq X \) :
Si ha \(\displaystyle E_{n} \subseteq X \ \ \forall n=1,2,3,... \Rightarrow \bigcup_{n \in \mathbb{N} } E_{n} \subseteq X \) .
(a.2.) \(\displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N} } E_{n} \supseteq X \) :
Sia \(\displaystyle x \in X \). Siccome \(\displaystyle f(x) < +\infty \), si hanno due casi:
I caso) \(\displaystyle f(x)=0 \), cioè \(\displaystyle x \in E_{1} \Rightarrow x \in \bigcup_{n \in \mathbb{N} } E_{n} \);
II caso) \(\displaystyle 0<f(x)<+\infty \Rightarrow \exists N \in \mathbb{N} \) t.c. \(\displaystyle 0<f(x)\leq N \), cioè \(\displaystyle x \in E_{N} \Rightarrow x \in \bigcup_{n \in \mathbb{N} } E_{n} \).
(b)
\(\displaystyle \mu(E_{1}) = \)(x def) \(\displaystyle sup\{ \sum_{x \in F} f(x) : F \subseteq E_{1}, F finito\} = sup\{ \sum_{x \in F} 0 : F \subseteq E_{1}, F finito\} = 0 < +\infty \);
\(\displaystyle \mu(E_{n}) = \)(x def) \(\displaystyle sup\{ \sum_{x \in F} f(x) : F \subseteq E_{n}, F finito\} \leq sup\{ \sum_{x \in F} n : F \subseteq E_{n}, F finito\} \ \ \forall n=2,3,4,... \)
e a questo punto, per concludere che questa misura è finita, bisogna sicuramente utilizzare l'ipotesi (hp2) ma non riesco a capire come.
Infatti, mentre l'estremo superiore di una quantità finita (diciamo \(\displaystyle nM \), essendo \(\displaystyle M \) la cardinalità dell'insieme finito \(\displaystyle F \)) su un insieme finito è certamente finito, l'estremo superiore di una quantità finita su un insieme numerabile può benissimo essere infinito...

Grazie per l'attenzione,
Ciao

[Seneca]

Detta $\{ x_n \}$ (la successione de)i punti di $X$ t.c. $f(x_n) > 0$, mi sembra che la partizione
\[ X \setminus \bigcup_k \{ x_k \} , \{ x_1 \} , ... , \{ x_n \} , ... \]
faccia al caso tuo.

Infatti è un numerabile di insiemi la cui riunione dà $X$ e tutti hanno misura finita poiché $f(x) < + \infty$.

[EdmondDantès]

Grazie!