Successione di funzione..un dubbio!

[21zuclo]

Ciao a tutti, questo è un esercizio svolto su una successione di funzione però mi perdo in un passaggio. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo.

Studiare la convergenza puntuale e uniforme di $ f_(n)(x)=(x^(n)\sin(nx))/(n^(x+1)) $ in $ [0,1] $

io avevo provato a farlo in un modo, poi guardando la soluzione, mi perdo in un passaggio, allora ho provato a fare così..

fisso $ x\in [0,1] $ e studio la convergenza puntuale
$ \lim_(n\to +\infty) (x^(n)\sin(nx))/(n^(x+1)) \leq (x^(n))/(n^(x+1)) \to 0 $ per $n\to +\infty$ e $ \forall x\in [0,1] $

poi vado a studiare la convergenza uniforme

$ \lim_(n\to +\infty) Sup_(x\in [0,1]) |f_n(x)-f(x)|=\lim_(n\to +\infty) Sup_(x\in[0,1])|(x^(n)\sin(nx))/(n^(x+1)) | $

ed qua che mi perdo, la soluzione fa questo passaggio..

$Sup_(x\in[0,1])|(x^(n)\sin(nx))/(n^(x+1)) |\leq Sup_(x\in[0,1]) (1)/(n^(x+1))=1/n \to 0$

scusate.. io avrei fatto così

$Sup_(x\in[0,1])|(x^(n)\sin(nx))/(n^(x+1)) |\leq Sup_(x\in[0,1]) (x^(n))/(n^(x+1))\to 0 $

perché la soluzione, non scrive $x^(n)$ ?.. mi sono perso qualcosa io?.. vorrei capire..

[billyballo2123]

Essendo $x\in [0,1]$, si ha che $0\leq x^n\leq 1$ per ogni $n\in \mathbb{N}$, dunque
$Sup_{x\in [0,1]}\frac{x^n}{n^{x+1}}\leq Sup_{x\in[0,1]}\frac{1}{n^{x+1}}=1/n\to 0$
per $n\to +\infty$.