Isomorfo al biduale$\Rightarrow$riflessivo?

[DavideGenova]

Ciao, amici! Sul Kolmogorov-Fomin trovo enunciato il fatto che \(\ell_p\) sono riflessivi, che nel caso di spazi normati equivale alla suriettività dell'applicazione naturale dello spazio nel suo biduale $\pi:x\mapsto \psi_x$, dove $\psi_x:f\mapsto f(x)$. Il testo fa riferimento agli isomorfismi isometrici \(\ell_p\simeq \ell_q^{\ast}\) e \(\ell_q\simeq \ell_p^{\ast}\) come se servissero a dimostrare tale affermazione.
Se esiste un isomorfismo (isometrico?) tra uno spazio e il suo biduale $\pi$ è quindi necessariamente suriettiva?
$\infty$ grazie a tutti!!!

[dissonance]

Esistono spazi strani che non sono riflessivi ma che ammettono un isomorfismo isometrico sul bi-duale. La risposta alla tua domanda è quindi negativa. (Ma si tratta di robe superastruse buone solo per coloro che si occupano esattamente di queste robe superastruse.) In questo caso l'isomorfismo non è uno qualsiasi, ma è esattamente quello che ti serve. Prova a dimostrarlo.

[DavideGenova]

$\infty$ grazie!!! Molto interessante. In effetti mi sembrerebbe che la riflessività di \(\ell_p\) discenda proprio dall'isomorfismo isometrico \(\ell_p^{\ast}\overset{\sim}{\to} \ell_q\), \(f\mapsto (f_1,f_2,...)\) definito da \(f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n x_n\), infatti ogni funzionale continuo \(f\in \ell_p^{\ast}\) può essere espresso tramite la successione \(\{f_n\}\in\ell_q\) e quindi direi che ogni funzionale continuo, ogni applicazione lineare continua di \(\ell_q\) nel campo relativo, \(g\in\ell_q^{\ast} \) debba essere esprimibile come funzione di tale successione, continua e lineare nelle coordinate \(f\mapsto (f_1,f_2,...)\), ma sappiamo proprio dall'isomorfismo isometrico \(\ell_q^{\ast}\overset{\sim}{\to} \ell_p\) che ogni funzione con queste caratteristiche è esprimibile come \(\psi(f)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_n f_n\) con \(\{\psi_n\}\in \ell_p\). Spero di non aver detto scemenze troppo grosse.

[dissonance]

Scemenze non ne dici ma non capisco dove vuoi arrivare. Cosa stai facendo?

[DavideGenova]

Grazie ancora! Volevo dimostrare che ogni \(\psi\in\ell_p^{\ast\ast}\) è esprimibile come \(f\mapsto f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x_n f_n\) con \(\{x_n\}\subset \ell_p\)... quindi non ci sono riuscito...