$J=\int_{0}^{1} dx \frac{\sqrt(1-x)}{\sqrt(x)}\frac{1}{1+x^2}$
Il mio procedimento è il seguente:
complessifico la funzione in questa maniera
$g(z)=\frac{\sqrt{z-1}}{\sqrt{z}}\frac{1}{1+z^2}$
che ha tre poli semplici in i, -i e 0. Con la scelta
$0\le arg(z)\le 2\pi, 0\le arg(z-1)\le 2\pi$
il taglio coincide con il percorso di integrazione tra 0 e 1. Dato che l'infinito è monodromo a causa della presenza delle due radici, giro in senso orario sul percorso che scelgo. In questo caso il percorso $\gamma$ che scelgo è sostanzialmente un "osso" con le estremità che girano attorno allo 0 e all'1. Allora da una parte si ha
$\int_{\gamma} dz g(z) = \int_{C_0} dz g(z) + \int_{C_1} dz g(z) + \int_{0}^{1} g^{+}(x) dx + \int_{1}^{0} g^{-}(x) dx$
Con il teorema del settore si vede che i contributi su $C_0$ e $C_1$ sono nulli, quindi rimangono quelli in $g^+$ e $g^-$. Scrivendo in modulo e fase la g(z), si vede che $g^{+}(x)=i*g(x)$ e $g^{-}(x)=-i*g(x)$, quindi cambiando gli estremi sull'integrale in $g^{-}$ si ha
$\int_{gamma} dz g(z)=2iJ$
A questo punto, non mi resta che applicare il teorema dei residui sui poli semplici in $z=\pm i$ e all'infinito (non in 0 perché appunto sto ruotando in senso orario). All'infinito, facendo lo sviluppo e cercando il coefficiente $a_{-1}$ si vede che il residuo è nullo, dato che sostanzialmente nello sviluppo mi rimane un $z^{-2}$ che non mi permette di trovare un termine con $z^{-1}$. Rimangono quindi gli altri due residui, e qui sorge il mio dubbio. Il mio calcolo è il seguente
$\{Res g(z)\}_{z=i}=\lim_{z\ra i}(z-i)g(z)=\lim_{z\ra i} \frac{\sqrt(z-1)}{\sqrt{z}*(z+i)}=-i\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\{Res g(z)\}_{z=-i}=\lim_{z\ra -i}(z+i)g(z)=...=+i\frac{\sqrt{2}}{2}$
Tenendo conto della parte di fase dovuta alle radici che si annulla dato che vengono una opposta all'altra, e quel radice di 2 che viene fuori dal modulo del vettore i-1 o i+1. In totale quindi, la somma dei residui mi da 0 e l'integrale è nullo. Ho provato a verificare con Wolframalpha online, e oltre a dirmi che quell'integrale non è nullo, mi dà anche un risultato diverso per i residui, nello specifico
$\{Res g(z)\}_{z=i}=\frac{1}{\sqrt{-2+2i}}$
$\{Res g(z)\}_{z=-i}=\frac{1}{\sqrt{-2-2i}}$
Non capisco dove stia sbagliando, se qualcuno è così gentile da potermi aiutare con questo esercizio gli sarei immensamente grato
Grazie in anticipo
