Matrice diagonizzabile

[alexis9]

Ciao, avrei un dubbio su un esercizio:

Determinare i valori del parametro h per i quali la matrice $M=((1, 0, h), (0, 0, 0), (1, 0, 1))$ è diagonizzabile su $RR$;
corrispondentemente a ciascuno di tali valori, trovare una matrice invertibile $C_h$ tale che la matrice $C_h^-1 M_h C_h$ risulti diagonale.

Nella prima parte non ho avuto grossi problemi (sempre che abbia fatto giusto ): ho calcolato il polinomio caratteristico che mi risulta essere $p_m (t) = t*(t-1-sqrt(h))*(t-1+sqrt(h))$ e ho trovato gli autovalori:
$\lambda_1 =0$
$\lambda_2 = 1+sqrt(h)$
$\lambda_3 = 1-sqrt(h)$
Quindi per il teorema di diagonalizzabilità se $h != 0,1$ la matrice ha tre autovalori distinti, quindi è diagonizzabile.
Se $h=0$ ho trovato che non è diagonizzabile perchè la molteplicità algebrica di $\lambda_2 = 1$ non è uguale a quella geometrica, mentre se $h=1$ la matrice è diagonizzabile.
A questo punto per trovare $C_h$ tale che la matrice $C_h^-1 M_h C_h$ sia diagonale ho applicato il teorema spettrale: $M_h$ è otrogonalmente diagonizzabile se è simmetrica positiva, e questo solo nel caso in cui $h=1$.
Qualcuno sa dirmi se questo ragionamento è giusto?
Grazie

[FrecciaRossa]

Allora se $h=1$ è simmetrica ma non è definita positiva, infatti
\[
(x,y,z)
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 &1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{pmatrix}
=(x+z)^2
\] quindi è solo semidefinita positiva, pertanto non puoi applicare il teorema spettrale.

Tuttavia il teorema spettrale in versione matriciale ( ho visto che hai usato quella versione ) dice che esiste una matrice ortogonale $O \in O_3(\mathbb{R})$ tale che $OAO^t=OAO^{-1}=\Delta$ matrice diagonale, quindi è un caso molto particolare del teorema di diagonalizzazione ( versione matriciale ) che dice

"$A$ è diagonalizzabile se e soltanto esiste una matrice $C$ tale che $CAC^{-1}=\Delta$ matrice diagonale"

che non implica necessariamente che $C$ sia ortogonale!!

Pertanto nei casi diagonalizzabili esiste sempre una matrice $C_h$ che devi trovare; e direi dipende dal parametro.
( Se non ho capito male la traccia chiede $C_h$ solo invertibile e non per forza ortogonale ).

[alexis9]

Ok grazie, quindi in questo caso $C_h$ esiste se $h != 0$, non è necessario che $M_h$ sia simmetrica, ho capito bene?

[FrecciaRossa]

Esattamente, non è necessario che una matrice sia simmetrica affinché sia diagonalizzabile. Ad esempio la matrice
\[ A=
\begin{pmatrix}
1 & -1\\
2 & 4\\
\end{pmatrix}
\] è palesemente non simmetrica, ma è diagonalizzabile ( se fai i conti vedi che ha due autovalori distinti ).

La simmetria è un qualcosa in più, e il teorema spettrale ti dice che se la matrice è simmetrica sicuramente è diagonalizzabile senza che stai a fare dei conti. Se non son stato chiaro scrivi pure di nuovo

[alexis9]

Ho capito, grazie mille dell'aiuto, ho anche riguardato meglio la teoria ed effettivamente avevo proprio capito male ! Grazie ancora!