Esercizi su Insiemi (1)

[Blizz]

Ciao vorrei chiedervi conferme e eventuali correzioni alle risposte che ho dato nei seguenti esercizi. Ve di seguito perchè sono piuttosto veloci e non imbratto l'elenco degli argomenti.
N°1:

RISPOSTA: a

N°2:

RISPOSTA: b

N°3:

RISPOSTA: d

N°4:

RISPOSTA: ...

Grazie!!

[gugo82]

Ciao vorrei chiedervi conferme e eventuali correzioni alle risposte che ho dato nei seguenti esercizi.

Risposte corrette ad esercizi del genere si possono anche indovinare tirando a caso, quindi le risposte secche non sono indicative.

Oltre alle risposte, sarebbe consigliabile riassumere brevemente i motivi che ti hanno indotto a scegliere un'alternativa piuttosto delle altre.
Solo così potremmo aiutarti a "correggere" questo esercizio.

[Blizz]

$ x_1,x_2 $Ok è vero, cerco di spiegare:

N°1:
Disegnando vedo che l'insieme $A$ è sostanzialmente la superficie di una sfera di raggio 4 più una circonferenza sul piano $x_1,x_2$ di raggio 2, quindi $A$ è chiuso perchè $Fr(A) \subseteq A$, addirittura $Fr(A) = A$(e ogni insieme è sottoisieme di sè stesso). $A$ però non è connesso per archi perchè sostanzialmente non posso passare da un punto sulla superficie della sfera ad un punto della circonferenza con un "percorso" che non esce mai da $A$.

N°2:
Ragionamento simile al N°1. $A$ è una sfera (esclusa la superficie) di raggio $4\sqrt{2}$ più tutto ciò che rimane del piano $x_1,x_2$ una volta che escludo una circonferenza di raggio 4 e origine in (0,0). Quindi $A$ è stellato rispetto qualche suo punto (basta prendere due punti contenuti nella sfera), ma non è convesso perchè se prendo un punto sul piano $x_1,x_2$ non contenuto anche nella sfera, e un punto invece contenuto nella sfera ma non sul piano $x_1,x_2$ si ha che il segmento di estremi $[P_1,P_2]$ non è sottoinsieme di $A$.

N°3:
Ho risposto con la d perchè $\bar{A}= A \cup Fr(A) ={x : ||x|| <= 4} \ne$ mentre $\A°={x: 0<= ||x||<2, 2<||x||<4}$; Insomma la chiusura dell'interno vale ${x: ||x||<= 4}$ mentre l'interno della chiusura vale ${x: ||x||< 4}$, e perciò sono diversi. Naturalmente la chiusura di $A$ non coincine con $A$ perchè la chiusura di $A$ comprende anche ${x: ||x||=2}$. Infine la chiusura di $A$, ovvero $\bar{A}$, è connesso per archi.

N°4:
Non riesco a disegnarla. Ci riproverò

[Blizz]

Vorrei aggiungere anche i seguenti esercizi per i quali vorrei intanto che mi diceste se ho fatto le scelte giuste, poi successivamente motiverò in quanto sono piuttosto lento ad utilizzare la scrittura simbolica di LaTex.

N°5:

RISPOSTA: b (Se non ho sbagliato ad interpretare i teoremi di Waierstrass e di Bolzano per funzioni $f: A \rightarrow \mathbb{R^m}$, con $A \subseteq \mathbb{R^n}$ e n,m naturali.)

N°6:

RISPOSTA d

N°7:

RISPOSTA: c

[gugo82]

N°1:
Disegnando vedo che l'insieme $A$ è sostanzialmente la superficie di una sfera di raggio 4 più una circonferenza sul piano $x_1,x_2$ di raggio 2, [...]

La parte in grassetto è falsa, fondamentalmente perché una sola equazione in tre variabili come \(x_1^2+x_2^2=4\) non può individuare una curva (perché?).

[...] quindi $A$ è chiuso perchè $Fr(A) \subseteq A$, addirittura $Fr(A) = A$(e ogni insieme è sottoisieme di sè stesso). $A$ però non è connesso per archi perchè sostanzialmente non posso passare da un punto sulla superficie della sfera ad un punto della circonferenza con un "percorso" che non esce mai da $A$.

Ed ovviamente le conclusioni sono sbagliate.

N°2:
Ragionamento simile al N°1. $A$ è una sfera (esclusa la superficie) di raggio $4\sqrt{2}$ più tutto ciò che rimane del piano $x_1,x_2$ una volta che escludo una circonferenza di raggio 4 e origine in (0,0). Quindi $A$ è stellato rispetto qualche suo punto (basta prendere due punti contenuti nella sfera), ma non è convesso perchè se prendo un punto sul piano $x_1,x_2$ non contenuto anche nella sfera, e un punto invece contenuto nella sfera ma non sul piano $x_1,x_2$ si ha che il segmento di estremi $[P_1,P_2]$ non è sottoinsieme di $A$.

Stesso errore di prima e stesse conseguenze sulla validità della risposta.

N°3:
Ho risposto con la d perchè $\bar{A}= A \cup Fr(A) ={x : ||x|| <= 4} \ne$ mentre $\A°={x: 0<= ||x||<2, 2<||x||<4}$; Insomma la chiusura dell'interno vale ${x: ||x||<= 4}$ mentre l'interno della chiusura vale ${x: ||x||< 4}$, e perciò sono diversi. Naturalmente la chiusura di $A$ non coincine con $A$ perchè la chiusura di $A$ comprende anche ${x: ||x||=2}$. Infine la chiusura di $A$, ovvero $\bar{A}$, è connesso per archi.

Ok.

N°4:
Non riesco a disegnarla. Ci riproverò

Basta risolvere la disequazione in due variabili che caratterizza i punti dell'insieme.

[Blizz]

N°1:
Ci ho ripensato. In effetti non si ha solo una circonferenza sul piano $x_1,x_2$ di raggio $2$ ma la superficie di un cilindro che lungo $x_3$ si estende da $-\infty$ a $+\infty$. Pertanto complessivamente l'insieme A è l'unione delle due superfici e perciò direi che la risposta corretta è la b, perchè a è chiuso ($Fr(A) = A$ quindi $Fr(A) \subseteq A$) ed è connessa per archi perchè posso passare da un punto qualsiasi di $A$ ad un'altro con una funzione continua.

N°2:
Più o meno stessa correzione di prima, però qui se disegno prendo la sfera che ha raggio $\4sqrt{2}$ compreso il suo bordo, più tutto lo spazio di $\mathbb{R^3}$ eccetto quello contenuto nel cilindro di raggio $4$ con asse su $x_3$ da $-\infty$ a $+\infty$. Quindi non è sicuramente convesso, però è stellato rispetto qualche suo punto perciò selezionerei sempre la risposta b

N°4:
Ok sviluppando dovrei ottenere una parabola: $x_1^2-4x_1+4<=0$ che mi da ${x_1}_{1,2}=2$. Perciò $A$ è tutto $\mathbb{R^3}$ sotteso da tale parabola (perchè c'è il $<=$). Quindi A non è vuoto, non è neanche aperto perchè appunto c'è il $<=$, ed è sicuramente connesso per archi. Perciò risponderei con la d: nessuna delle precedenti risposte è corretta.

[Blizz]

Ecco dunque:

N°5:
Teorema di Bolzano: Sia $A$ un sottoinsieme si $\mathbb{R^n}$ connesso per archi, $f:A \rightarrow \mathbb{R}$ continua. Allora $f(A)$ è un intervallo. Siccome in questo caso $A$ è connesso per archi darei come risposta la a o la b. Ma quale delle due?

N°6:
$A$ è un cerchio di raggio $2$ e centro nell'origine. $B_r(x_1,x_2)$ è una circonferenza di raggio $r$ e centro in $(6,6)$. Perciò la loro unione è connessa per archi solo se $r>6\sqrt{2}$

N°7:
Disegnando mi viene il semplice andamento di $2^x$ escluso il punto in cui $x_1=0$, perciò direi che A è chiuso perchè non solo $Fr(A) \subseteq A$ , ma si ha proprio $Fr(A)=A$.

Che dite?