Forma Differenziale

[Bisteccone]

mi aiutate con questa forma differenziale?
allora, data
$omega=(sin(xy)/(x))d(x)+(sin(xy)/(y))d(y)$

e bisogna calcolare l'integrale di $omega$ esteso alla curva $varphi(t)=(t,3-t)$ con $tin[1,2]$

ora facendo le derivate parziali incrociate so che la forma differenziale è chiusa, ma non è esatta perché non è definita nell'origine

ora faccio che l'integrale curvilineo è uguale a
$\int_1^2 F(varphi)*(varphi)'$

quindi
$\int_1^2 (sin(3t-t^2)/t-sin(3t-t^2)/(3-t))d(t)$

ma questa funzione non è integrabile, come devo risolverla?

[ciampax]

La forma non è definita sugli assi (non solo nell'origine), e quindi non è esatta su $RR^2$. Ma se prendi, per esempio, un quadrante del piano cartesiano, privato degli assi, lì è esatta. E la tua curva (che è un segmento) sta tutto nel primo quadrante.

[Bisteccone]

quindi devo considerare y>0 e x>o, ma questo cosa mi cambia?

[ciampax]

Te l'ho appena detto: la forma non è esatta su tutto $RR^2$ perché devi escludere gli assi dove non è definita. Ma se prendi un insieme semplicemente connesso che non contiene gli assi, su tale insieme la forma è esatta. Un tale insieme è il primo quadrante privato degli assi... e la cosa interessante è che la tua curva è tutta contenuta nel primo quadrante. Per cui l'integrale non va fatto come un integrale curvilineo, ma come l'integrale di una forma esatta, nota la primitiva.

[Bisteccone]

ah ok, ho capito

comunque se non ti è di troppo disturbo, ho letto di un metodo per risolvere questo tipo di problema, il cambiamento di curva, ovvero prendi un cammino più semplice con gli stessi estremi, ma non ho capito bene, mica me lo sapresti spiegare, se non ti chiedo troppo, perchè online ho trovato poco e niente

[ciampax]

Le curve "semplici" sono quelle formate da segmenti paralleli agli assi: in questo caso, ad esempio, dovendo andare da $(1,2) $ a $(2,1)$ potevi considerare il percorso $(1,2)\to (2,2)\to (2,1)$ o il percorso $(1,2)\to (1,1)\to (2,1)$, ma in questo caso non ti è di molta utilità e, in generale, lo si usa per calcolare la primitiva della forma.

[Bisteccone]

ok, capito anche questo, grazie mille

un'ultima cosa, ho questo esercizio:
sia $gamma(theta):(sin(theta),cos(theta)), $ con $theta in [0,pi]$ e

$omega= (\int_0^y e^(t^2)d(t))d(x)+xe^(y^2)d(y)$

dimostrare che $omega$ è esatta in $R^2$ e verificare che
$\int_gamma omega=0$

il problema è l'intetgrale in dt, come posso risolverlo, visto che non è elementare?

[ciampax]

Dimostriamo che è chiusa: se indico le due componenti con $X,\ Y$ allora
$$X_y=\frac{\partial}{\partial y}\int_0^y e^{t^2}\ dt=e^{y^2},\qquad Y_x=e^{y^2}$$
Poiché è definita su $RR^2$, è esatta e quindi esiste $f(x,y)$ tale che $f_x=X,\ f_y=Y$, Dalla seconda condizione segue
$$f(x,y)=\int Y\ dy=\int x e^{y^2}\ dy=x E(y)+g(x)$$
dove ho indicato con $E(y)$ l'integrale dell'esponenziale. Inoltre
$$f_x=E(y)+g'(x)=E(y)\ \Rightarrow\ g'(x)=0\ \Rightarrow\ g(x)=c\in\mathbb{R}$$
Pertanto la primitiva è
$$f(x,y)=x E(y)+c$$
Ora, la curva $\gamma$ non è chiusa, in quanto è l'arco di circonferenza di centro l'origine e raggio 1 contenuto nel primo e quarto quadrante (i.e. l'arco che va da $(0,1)$ a $(0,-1)$ passando da $(1,0)$). Se indichiamo con $\Gamma$ tutta la circonferenza, allora $\Gamma=\gamma\cup\gamma_1$ (dove $\gamma_1$ è l'altro arco) e si ha
$$0=\int_{\Gamma} \omega=\int_\gamma\omega+\int_{\gamma_1}\omega$$
Ora, osserva che $\gamma_1$ è simmetrica alla curva $\gamma$ attraverso la simmetria $(x,y)\to(-x,y)$: abbiamo allora
$$\omega(-x,y)=E(y)(-dx)-x e^{y^2}\ dy=-\omega(x,y)$$
per cui, dal momento che $\gamma_1=-\gamma$ (la puoi pensare come la stessa curva con orientazione cambiata) si ha
$$0=\int_\gamma \omega+\int_{-\gamma}(-\omega)=2\int_\gamma\omega$$
da cui il risultato richiesto.

Se invece vuoi un metodo più "diretto" puoi procedere così: l'integrale diventa
$$\int_0^\pi\left[E(\theta)\cos\theta-\sin^2\theta e^{\cos^2\theta}\right]\ d\theta$$
Avendo posto $E(\theta)=\int_0^{\cos\theta} e^{t^2}\ dt$. Osservando che $E'(\theta)=-\sin\theta e^{\cos^2\theta}$ puoi integrare per parti, ottenendo
$$\int_0^\pi E(\theta)\cos\theta\ d\theta=\left[E(\theta)\sin\theta\right]_0^\pi-\int_0^\pi -\sin^2\theta e^{\cos^2\theta}\ d\theta$$
e sommando all'altro integrale ottieni zero.

P.S.: ovviamente, avendo la primitiva puoi anche calcolare
$$\int_\gamma \omega=f(0,-1)-f(0,1)=0$$
che forse è più semplice. Ma vabbé, t'ho fatto vedere tutti i metodi possibili.

[Bisteccone]

marò, grazie

solo una cosa, non riesco a capire perchè $E'(theta)=-sin(theta)e^((cos(theta))^2)$

[ciampax]

Derivata di una funzione integrale (o se vuoi, teorema di Torricelli).
$$\frac{d}{dx}\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t)\ dt=\beta'(x)\cdot f(\beta(x))-\alpha'(x)\cdot f(\alpha(x))$$