Relazioni fra base e esponente di una potenza

[gronchipietro]

Ciao a tutti! È il primo messaggio che scrivo, quindi spero di non fare errori ^.^
Mentre ero impegnato con alcuni problemi di algebra, mi sono posto una domanda: dato un numero $ x=a^(m/n) $ con $ a,m,nin mathbb(Z) $ è possibile stabilire, in base a relazioni esistenti fra la base e l'esponente della potenza, se $ x $ risulterà un numero intero, razionale, irrazionale, ... ?
Grazie in anticipo per l'interessamento!

[giammaria]

In primo luogo la potenza deve esistere e ricordiamo che
- una base negativa può essere elevata solo ad esponenti interi (ed allora da $a in ZZ$ otteniamo potenza intera se l'esponente è positivo o nullo, razionale altrimenti);
- la base $0$ può essere elevata solo ad esponenti positivi (dà allora $0$, intero);
- con base positiva l'esponente può essere qualsiasi; supponendo che la frazione $m/n$ sia ridotta ai minimi termini, in generale la potenza è irrazionale. Fanno eccezione i casi
- - $m=0$ (la potenza vale $1$)
- - $n=+-1$ (la potenza è intera o razionale, a seconda del segno dell'esponente);
- - $a=b^n$, con $b in ZZ$ (la potenza è intera o razionale, a seconda del segno dell'esponente).

[gronchipietro]

Grazie mille!! Ora mi è tutto molto più chiaro!