carattere serie numerica

[domax93]

questa è la serie
$ (log(n^3+3)-3logn)/(sqrt(n+3)) $
ad intuito applicherei il criterio del confronto asintotico

ho eseguito questo passaggio, ma non saprei come procedere ora.
$ log(1+3/n^3)/(sqrt(n+3)) $

grazie in anticipo!

[ciampax]

Se $t\to 0$ allora $\log(1+t)$ è asintotico a $t$.

[Carlo95]

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{log(1+ \frac{3}{n^{3}})}{\sqrt{n+3}} \)

\(\displaystyle log(1+ \frac{3}{n^{3}}) \sim +\infty \frac{3}{n^{3}} \)
\(\displaystyle \sqrt{n+3} \sim +\infty \sqrt{n} \)
Posto \(\displaystyle a_{n} = \frac{log(1+ \frac{3}{n^{3}})}{\sqrt{n+3}} \)
Posto \(\displaystyle b_{n} = \frac{3}{n^{\frac{7}{2}}} \)
Osservando che \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = 1 \) per il criterio del confronto asintotico
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} \) e \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} \)
hanno lo stesso carattere, poichè \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} \), essendo serie armonica con \(\displaystyle \alpha>1 \), converge, anche la serie di partenza \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{log(1+ \frac{3}{n^{3}})}{\sqrt{n+3}} \) converge.

[domax93]

grazie ad entrambi per la risposta.
carlos95 avrei delle domande, come fai a dire che log(1+3n3)∼+∞3/n^3
lo stessa domanda per il denominatore.
inoltre perchè bn si riduce a n^7/2
grazie

[stormy]

come fai a dire che log(1+3n3)∼+∞3/n^3

ti devi ricondurre al post di ciampax

a questo punto puoi anche dire che il termine della serie è asintotico a $3/(n^3sqrt(n+3))$ che è maggiorato da $3/n^3$
quindi la serie converge

[Carlo95]

come fai a dire che log(1+3n3)∼+∞3/n^3

ti devi ricondurre al post di ciampax

a questo punto puoi anche dire che il termine della serie è asintotico a $3/(n^3sqrt(n+3))$ che è maggiorato da $3/n^3$
quindi la serie converge

Esattamente, ciampax ti ha detto tutto in pratica.
Se ricordi il limite notevole
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{log(1+x)}{x}=1 \)
Sostituendo la \(\displaystyle x \) con una quantità \(\displaystyle \frac{1}{y} \) che tende a \(\displaystyle +\infty \) quando \(\displaystyle x \) tende a \(\displaystyle 0 \)
ottieni il limite equivalente che vale a \(\displaystyle +\infty \)
\(\displaystyle \lim_{y \to +\infty} \frac{log(1+\frac{1}{y})}{\frac{1}{y}}=1 \)
Nel tuo caso
\( \displaystyle \lim_{y \to +\infty} \frac{log(1+ \frac{3}{n^{3}})}{\frac{3}{n^{3}}} =1 \)
Il fatto che il limite valga uno ti fa capire che il numeratore e il denominatore sono infiniti dello stesso ordine, ciò vuol dire che tendono a più infinito con la stessa velocità.
Grazie al critero del confronto asintotico puoi affermare che studiare il carattere di
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} log(1+ \frac{3}{n^{3}}) \)
o il carattere della serie

\( \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{n^{3}} \)
è esattamente la stessa cosa

inoltre perchè bn si riduce a n^7/2

Proprietà delle potenze
\(\displaystyle n^3 * \sqrt{n} = n^3 * n^{\frac{1}{2}}=n^{3 + \frac{1}{2}} = n^{\frac{7}{2}} \)

[domax93]

grazie mille per la risposta....
credo di aver trovato un esempio analogo con un'altra serie

$ sum nsin(1/(n^2+1)) $
$ sin(1/(n^2+1))~ (1/(n^2+1)) $
quindi
$ n(1/(n^2+1)) $
$ (n/(n^2+1)) $

per l'ordine degli infinitesimi $ (n/(n^2))=1/n $
1/n serie armonica giusto? con alfa<=1 diverge
quindi la serie diverge.
giusto?

[ciampax]

Coretto.

[domax93]

mi sono imbattuto in un'altra serie
$ sum (3^n+n^n)/(n+2^n) $

per l'ordine degli infinitesimi possiamo scrivere la serie come
$ sum (n^n/2^n) $
$ sum (n/2)^n $
ora applico il criterio della radice
ritrovandomi con $ sum (n/2) $
per n->+infinito
$ sum(n/2)$ =inf

probabilmente lo svolgimento è sbagliato ma indipendentemente da esso faccio questa domanda: -il criterio della radice può dare come risultato infinito e non un valore finito? e infinito può considerarsi come un valore maggiore di 1 è quindi affermare che la serie diverge?-
grazie ancora per il tempo da voi dedicatomi

[ciampax]

Invece è corretto, il modo in cui scrivi è sbagliato.
Partiamo dalla prima serie scritta: per confronto asintotico possiamo affermare che essa ha lo stesso carattere della serie $\sum(n/2)^n$. Dal criterio della radice, avendosi
$$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{(n/2)^n}=+\infty$$
segue che la serie non converge e, quindi, per il criterio del confronto asintotico, neanche quella di partenza converge.

Tu scrivi delle serie "inutili" (quella con i termini $(n/2)$ in realtà non si presenta da nessuna parte, se non nel limite). Inoltre avresti potuto applicare il criterio della radice già alla prima serie, o addirittura avresti potuto far vedere che il limite del termine generale della serie di partenza è diverso da zero.