[Problema]Calcolo di un limite

[Carlo95]

Salve ho trovato difficoltà nel calcolo di questo limite:
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\frac{1 - n\ log(1 + \frac{1}{n})}{\frac{1}{n}} \)
Scritto in questa forma il limite è in forma indeterminata \(\displaystyle [\frac{0}{0}] \)
Ho svolto alcuni passaggi algebrici
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}n\ (1 - n\ log(1 + \frac{1}{n})) \)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}n\ (1 - log((1 + \frac{1}{n})^n)) \)
\(\displaystyle -\lim_{n \to +\infty}n\ (log((1 + \frac{1}{n})^n) -1) \)
Scritto così l'ho ricondotto alla forma indeterminata \(\displaystyle [\infty\ * 0] \)
Il problema è che in qualunque modo lo scriva mi esce fuori sempre una forma indeterminata, ho provato con vari trucchetti algrbrici ma niente, il limite mi ricorda molto il limite notevole
\(\displaystyle \lim_{n \to 0}\frac{e^n -1}{n}=1 \) ma non riesco ad applicarlo in maniera corretta, spero possate aiutarmi

[Seneca]

\[ \lim_{x \to 0} \frac{x - log(1 + x)}{x^2} \]
Da qui conviene usare Taylor o De L'Hospital.

[Carlo95]

\[ \lim_{x \to 0} \frac{x - log(1 + x)}{x^2} \]
Da qui conviene usare Taylor o De L'Hospital.

Grazie per la risposta Seneca, a quanto pare il limite era più facile di quanto pensassi, io cercavo di calcolarlo all'infinito col limite notevole, poi mi hai fatto notare che bastava passare fin da subito al limite per \(\displaystyle t \) che tende a \(\displaystyle 0 \), ho fatto i calcoli e mi trovo:
\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty}\frac{1 - n\ log(1 + \frac{1}{n})}{\frac{1}{n}} \)= \( \displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{t - log(1 + t)}{t^2} \)
Sviluppando con Taylor \(\displaystyle log(1+t) \sim 0\ t - \frac{t^2}{2} + o(t^3) \)
\( \displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{t - t + \frac{t^2}{2}}{t^2} = \frac{1}{2} \)