Ottimizzazione vincolata

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ciao a tutti ,

ho una domanda: nel caso in cui debba trovare estremi di una f su vincolo esplicitabile, e se tale vincolo fosse esplicitabile rispetto a più variabili, devo trovare i punti stazionari su ciascun vincolo esplicitato? grazie:)

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preciso: ovviamente mi riferisco a funzioni in R^3.. ossia caso di f esplicitabili, qualora verificate le ipotesi del teorema delle f implicite, rispetto a due variabili.

[gugo82]

ho una domanda: nel caso in cui debba trovare estremi di una f su vincolo esplicitabile, e se tale vincolo fosse esplicitabile rispetto a più variabili, devo trovare i punti stazionari su ciascun vincolo esplicitato? grazie:)

La risposta è: dipende.
Insomma, dipende dalla "globalità" o meno della forma esplicita dell'equazione del vincolo.

Ad esempio, metti che il vincolo sia assegnato mediante l'equazione implicita \(x^2-y=0\): in tal caso, l'equazione si esplicita globalmente rispetto alla \(y\), nel senso che è possibile descrivere tutta la varietà di equazione \(x^2-y=0\) usando il grafico della funzione implicitamente definita dall'equazione del vincolo, cioé \(f(x):=x^2\); perciò in questo caso (ed in casi analoghi), puoi ragionare usando solo la forma esplicita del vincolo rispetto alla \(y\).

D'altra parte, supponi che il vincolo sia assegnato attraverso l'equazione implicita \(x^2+y^2=4\): in questo caso, l'equazione del vincolo non si può esplicitare globalmente usando il grafico di una sola delle funzioni implicitamente definite dall'equazione; in casi del genere, se vuoi esplicitare l'equazione del vincolo, devi necessariamente usare delle forme esplicite che ti "ricoprano" tutto il vincolo (nel caso in esame, puoi fare i conti, ad esempio, usando le due funzioni implicitamente definite \(f_1(x):=\sqrt{4-x^2}\) ed \(f_2(x):=-\sqrt{4-x^2}\)).

Tuttavia, esistono metodi di ottimizzazione che consentono di fare a meno di esplicitare i vincoli: ad esempio, (tra i metodi grafici) il metodo delle curve di livello o (tra i metodi analitici) il metodo dei moltiplicatori di Lagrange unito a qualche condizione sufficiente di estremo vincolato (e.g., l'analisi dell'hessiano su varietà).