da ciampax » 30/08/2014, 14:37
Tu bisogna che inizi ad usare il Latex, altrimenti qua non se ne esce più vivi, però.
Come in altri esercizi, quando effettui il cambiamento di coordinate ottieni le nuove limitazioni seguenti:
$$z\ge 0,\ \rho^2\le\min\{z^2,\ 9-z^2\}$$
Osserva che non essendoci più dipendenza da $\theta$, possiamo affermare che $\theta\in[0,2\pi]$. A questo punto, traccia il grafico delle due curve $\rho=z,\ \rho^2+z^2=9$ in un piano cartesiano $zO\rho$ di cui basta prendere il primo quadrante, visto che $z\ge 0$ e per definizione $\rho\ge 0$. Ora, osserva che, fissato il punto di intersezione $(3/\sqrt{2},3/\sqrt{2})$ la funzione "minimo" può riscriversi così
$$\min\{z^2,\ 9-z^2\}=\left\{\begin{array}{lcl}
z & & 0\le z\le\frac{3}{\sqrt{2}}\\ 9-z^2 & & \frac{3}{\sqrt{2}}\le z\le 3
\end{array}\right.$$
(lo vedi subito disegnandole). Quindi non hai estremi illimitati, ma tutti limitati. In definitiva l'integrale si spezza sui due domini seguenti
$$D_1\ :\ \theta\in[0,2\pi],\quad 0\le z\le\frac{3}{\sqrt{2}},\quad 0\le\rho\le z\\
D_2\ :\ \theta\in[0,2\pi],\quad \frac{3}{\sqrt{2}}\le z\le 3,\quad 0\le\rho\le 9-z^2$$