L'esistenza intesa come immagine mentale.

[Schiele.]

L'esistenza in matematica è fondamentalmente una idea, una immagine mentale. Possiamo ragionare in questo modo: quando si chiede di dimostrare che esiste un certo ente matematico, abbiamo una idea dell'oggetto e lo mostriamo. Diciamo: vedi, ora questo ente φ ha questa proprietà. Ma certe volte, in Matematica, c'è da mostrare che non è possibile fare una certa azione, come nel caso della topologia banale che rende un certo spazio connesso. Non è possibile ottenere lo spazio come aperti non vuoti digiunti. In questo caso come si immagina il processo? Non dev'esserci l'idea, in pratica. E allora io mi immagino di andare davanti all'insieme, che nella mia testa è disegnato in simboli come fosse sulla lavagna e con la mano dico ecco vedi che non ci riesco, vedi che non ci riesco. Ma a me non mi soddisfa questa cosa. Perchè? Perchè non rimango folgorato come quando ho l'idea di un oggetto esistente. È così bello ed evidente quando esiste una cosa, ho l'immagine dentro di me. Invece quando non esiste immagino sempre me stesso che con la mano non ce la fa, non ce la fa a tirare fuori quello che viene chiesto perchè non c'è e allora sono nervoso.

Provo a spiegarlo in un altro modo:

Immaginate una stanza. Nella stanza non c'è un certo oggetto, tipo un pallone. Per dimostrarlo cosa faccio? Cerco in tutta la stanza il pallone. Ho cercato dappertutto e non c'è. Poi mi fermo. E se non ho guardato bene? Allora mi viene l'affanno e continuo a cercare. Questa è l'immagine che ho quando devo provare la non-esistenza. Lo so che i due aperti disgiunti non ci sono. Ma poi penso e mi focalizzo e si, non ci sono. Poi non ci penso più. E non sono sicuro. Allora mi rifocalizzo e si non ci sono, c'è solo il vuoto e X. Dov'è lo sbaglio? Secondo me nel mio modo di ideare.

[FE]

A me sembra che sia l'esempio che non rende. Dimostrare la non-esistenza non è come cercare un pallone in una stanza, o un ago in un pagliaio e dire che siccome non lo si è trovato allora non c'e'. E' dimostrare che non puo' esserci un ago in un pagliaio per come è stato definito o l'ago o il pagliaio o l "esserci" o tutte e.

[Schiele.]

A me sembra che sia l'esempio che non rende. Dimostrare la non-esistenza non è come cercare un pallone in una stanza, o un ago in un pagliaio e dire che siccome non lo si è trovato allora non c'e'. E' dimostrare che non puo' esserci un ago in un pagliaio per come è stato definito o l'ago o il pagliaio o l "esserci" o tutte e.

Capisco, ma se io non mi fidassi delle tue implicazioni? Non mi stai facendo vedere che non c'è, mi stai solo dando una serie di implicazioni.

[Thomas]

Mi pare che stia tu qui contestando le dimostrazioni per assurdo con la sola motivazione che "non ti convincono". Non sono in grado di discutere sul tema se siano lecite o meno, volevo solo risponderti più filosoficamente al fatto che non è sensato a mio parere, rigettare una cosa perchè non ti convince o perchè non riesci a fartene "una immagine mentale", come mi sembra tu faccia.

Non è sensato a mio parere perchè il medesimo concetto di "sembrare vero" o di "sembrare falso" è una cosa che dipende dalla struttura logica che si è data alla materia (la matematica... io credo possa essere sensato immaginare due strutture isomorfe in qualche senso della matematica in cui le dimostrazioni per assurdo lette da una parte diventano dimostrazioni costruttive dall'altra e viceversa, le dimostrazioni di non esistenza vengono scambiate con quelle di esistenza e così via...) e dalle disponibilità mentali (limitate) che la razza umana possiede. E' quindi a mio parere un concetto abbastanza mal definito.

Se poi vogliamo definire come "convincente" una dimostrazione che è più "legata" al modo di pensare umano o a come si è scelto di strutturare la materia, si può fare, ma sinceramente per come la penso io "una dimostrazione è una dimostrazione" e non ha molto senso chiedersi quale sia meglio di un'altra...

Detto questo, probabilmente ci sono motivi profondi per non accettare questo tipo di dimostrazioni, che io non conosco, ma questo è un altro tipo di discussione e ci vorrebbe fields a discuterne ...

[gugo82]

Soliti pipponi pseudo-filosofici sulla dimostrazione per assurdo.
Ti ho già consigliato di leggerti un po' di cose a riguardo: l'hai fatto?

Inoltre, anche sull'esistenza degli oggetti matematici c'è una vastissima letteratura, che apre un ventaglio di ipotesi ragguardevole; potresti provare a leggere qualcosa a riguardo, prima di provare a dire la tua.

Se poi vogliamo definire come "convincente" una dimostrazione che è più "legata" al modo di pensare umano o a come si è scelto di strutturare la materia, si può fare, ma sinceramente per come la penso io "una dimostrazione è una dimostrazione" e non ha molto senso chiedersi quale sia meglio di un'altra...

Detto questo, probabilmente ci sono motivi profondi per non accettare questo tipo di dimostrazioni, che io non conosco, ma questo è un altro tipo di discussione e ci vorrebbe fields a discuterne ...

L'unico motivo è che la mente umana vede fino ad un certo punto, mentre le dimostrazioni formali hanno una vista un po' più lunga.
Lo svincolare la Matematica dalla percezione umana è stato un passo fondamentale operato dai Matematici tra fine '800 ed inizio '900, il quale ha portato ad uno sviluppo della materia enormemente maggiore (almeno quantitativamente, dato che la qualità della maggior parte dei contributi è discutibilissima) rispetto a quanto si registrava nei secoli precedenti.

Chiunque stia ancora qui a discutere di questa faccenda è rimasto un bel po' indietro rispetto alla Storia della Matematica...

[killing_buddha]

ci vorrebbe fields a discuterne

Fields ha brillato piu' per capacita' organizzative e per la possibilita' di creare il fondo che porta il suo nome e ha originato le medaglie, che per qualita' strettamente matematiche...

[gugo82]

@K_B:

ci vorrebbe fields a discuterne

Fields ha brillato piu' per capacita' organizzative e per la possibilita' di creare il fondo che porta il suo nome e ha originato le medaglie, che per qualita' strettamente matematiche...

Si faceva riferimento al nostro fields...

[killing_buddha]

Ora tutto torna!

[Schiele.]

Consigliarmi di leggere Filosofia della Matematica è quantomeno inappropriato Gugo. Sai benissimo che l'ho giá fatto e sai benissimo che sono discorsi ridondonati e circolari che non arrivano da nessuna parte, come del resto ogni discorso filosofico intorno alle questioni fondamentali dell'Esistenza. È come se tu mi consigliassi di leggere Saggio di una critica di ogni rivelazione di Fichte per chiarire i problemi intorno alle Rivelazioni oppure mi consigliassi le opere di Cartesio per capire se stiamo vivendo in un sogno o nella realtá. ''Penso quindi sono'' è una implicazione errata, logicamente parlando, eppure Cartesio la porta avanti come se niente fosse....

Comunque, ho una buona notizie, dopo una settimana di riflessione sono giunto a una comprensione più profonda della reductio. I punti fondamentali sono che nessun oggetto matematico, o meglio nessuna operazione su un oggetto matematico può portare a una contraddizione. Questo non è sufficientemente chiarito bene quando si spiega la tecnica. Al massimo si dice ''dev'esserci qualcosa di sbagliato''. Ma sbagliato dove? È fondamentale spiegare che nessun oggetto può creare una catena di implicazioni che porti a una contraddizione. Da qui poi si distinguono i casi dovuti al tertium e si elimina il caso contradditorio. Per quanto riguardo l'induzione, è ancora un mistero. E in ogni caso, si potrebbe continuare a discutete sulla effettiva sensatezza di immaginare casi, idee e ipotesi ma qui si sprofonda nella scetticismo più totale quindi mi ritiro prima che mi riempite di mazzate.

[Schiele.]

Alla fine quindi le mie conclusioni su questa questione è che i libri di Matematica non sono chiari abbastanza. La dimostrazione per assurdo si serve di due concetti:

Il primo è il tertium non datur. E questo tutti i libri lo sottolineano fino alla nausea.

Il secondo è che nessun oggetto matematico può portare tramite una catena di implicazioni a una contraddizione.

Questo secondo punto non è chiarito ma viene camuffato, nascosto giunti alla contraddizione con frasi come.:

''Dev'esserci qualcosa che non va allora''( Ma perchè vi ho chiesto fino adesso. La risposta dopo una settiman di riflessione: nessun oggetto matematico può portare tramite una catena di implicazioni a una contraddizione), ''Dev'esserci qualcosa di sbagliato nell'ipotesi di partenza'' ('Ma perchè vi ho chiesto fino adesso. La risposta dopo una settimana di riflessione: nessun oggetto matematico può portare tramite una catena di implicazioni a una contraddizione)'L'ipotesi di partenza non è sostenibile' (Ma perchè vi ho chiesto fino adesso. La risposta dopo una settimana di riflessione: nessun oggetto matematico può portare tramite una catena di implicazioni a una contraddizione)"


Altri discorsi confusionari riguardano i Fondamenti della Matematica. Non è vero che tramite la nozione di insieme è possibile costruire la nozione di numero. Semmai è possibile costruire un ente che si comporta formalmente come un numero. Ma questo non è chiarito. Il concetto intuitivo di numero non può essere costruito a partire dagli insiemi. E tante altre cose.