carattere di una serie con criterio di Leibniz

Messaggioda domax93 » 30/08/2014, 17:09

allora la serie è questa
$ sum (-1)^n((n+1)/(e^n+1)) $

allora il criterio ci permette di stabilire se una serie converge ma ci sono due condizioni necessarie
1. il limite a +infinito del termine generale della nostra serie deve fare 0
ci troveremo dinanzi a una forma indeterminata infinito/infinito, superabile con de l'hopital, e viene 0, quindi prima condizione verificata.
2. verificare se la funzione è decrescente, quindi f'(n)<=0
$ f'(n)=(1- n e^n)/(e^n+1)^2 $

poniamo il numeratore <=0 e viene
$ e^n>=1/e^n $ da questo punto in poi che non saprei come interpretare questa disequazione
il procedimento fino a questo punto è corretto? grazie
domax93
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Re: carattere di una serie con criterio di Leibniz

Messaggioda ciampax » 30/08/2014, 18:24

1) de l'Hopital con una successione? Tu oltre a farti bocciare vuoi anche farti picchiare a sangue dal tuo docente? No perché io ti darei fuoco in aula! :-D
Basta osservare che
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{e^n+1}=\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{e^n}=0$$
dal momento che $e^n$ è un infinito maggiore di $n$.

2) Il trucchetto di scrivere la funzione associata (con $n=x$ per ché se lasci $n$ e non specifichi che è reale qualcuno potrebbe darti fuoco in aula come prima!) ti porta a scrivere che $1-x e^x<0$ (per avere la monotonia strettamente decrescente) e quindi che $x e^x>1$. Basta osservare che per $x\ge 1$ questa cosa è sempre vera e ha concluso.

P.S.: non capisco sinceramente come tu possa scrivere la disequazione che hai scritto. Al max puoi dire che $e^x>1/x$.
ciampax
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Re: carattere di una serie con criterio di Leibniz

Messaggioda domax93 » 30/08/2014, 18:44

per ringraziarti ti autorizzo a darmi fuoco. offro io la benzina
domax93
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Re: carattere di una serie con criterio di Leibniz

Messaggioda ciampax » 30/08/2014, 18:50

Non ti preoccupare, tanto la carne mi piace al sangue! :-D
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