Eq. differenziale con metodo della variazione delle costanti

[ste13]

Salve a tutti, è la prima volta che posto sul forum anche se leggo molte discussioni.
Avrei bisogno di una mano con un'equazione differenziale da risolvere col metodo della variazione delle costanti. sono due giorni che ci provo, ma non capisco dove sbaglio.
riporto la traccia e come ho impostato l'esercizio. ringrazio in anticipo quanti di voi (impegnati con gli esami ed altro) vorranno darmi una mano.
$ y'' - 3y' + 2y = 2e^(2x) $

ho considerato l'omogenea associata:
$y'' - 3y' -2'= 0$

ho impostato l'equazione caratteristica:
$ a^2 - 3a +2 =0$

mi ha dato due radici reali e distinte:
$a1=2$ e $a2=1$

e quindi come soluzione dell'omogenea ho ottenuto
$y(x)= c1e^x + c2e^(2x)$

dove$ y1(x)= e^x$ e $y2(x)=e^(2x).$

ora devo trovare l'integrale generale della non omogenea, che è dato da
$ y(x)= c1e^x + c2e^(2x) + v(x)$

poichè $v(x)= b(x)y1(x) + c(x)y2(x)$

imposto il seguente sistema di due equazioni nelle due incognite b(x) e c(x):
$b'(x)e^x + c'(x)e^(2x) = 0$ e
$b'(x)e^x + 2c'(x)e^(2x) = 2e^(2x) $

vado col metodo della sostituzione:
$b'(x)= - c'(x)e^x$

e trovo: $ c'(x)=2$, ne segue $c(x)=2x (+c)$;
$b'(x)=-2e^x$, ne segue$ b(x)=-2e^x (+c)$

quindi: $v(x)= -2e^(2x) + 2xe^(2x)$

di conseguenza l'integrale generale della non omogenea che ho trovato è:
$y(x)=c1e^x + c2e^(2x) -2e^(2x) + 2xe^(2x)$

ma il libro porta come integrale:

$y(x)=c1e^x + c2e^(2x) + 2xe^(2x)$

dove sbaglio?

[stormy]

semplicemente, $-2e^(2x)$ è stato fagocitato da $c_2e^(2x)$

[ste13]

Oddio, non ci avevo assolutamente pensato! grazie mille e mi scuso di aver postato una discussione non necessaria.

[stormy]

se non riuscivi a venirne a capo hai fatto bene ad aprirla