Serie numeriche (dubbio risoluzione)

[Sylent]

Andando a guardare il mio quaderno c'è una serie:

$sum_(n=1)^(+oo) (n+cos^2n)/(n^3+1)x^n $

Il testo dell'esercizio chiedeva di studiare il carattere della serie al variare del parametro x appartenente a R.

Un mio collega l'ha risolta in questo modo, ma sinceramente io ho moltissimi dubbi su questa risoluzione xD

Teorema della radice
$sqrt((n+cos^2n)/(n^3+1)x^n) = sqrt((n+cos^2n)/(n^3+1)) |x^n|$

essendo che:

$lim_(x->oo) (n+cos^2n)/(n^3+1) = 0$

Si può concludere dicendo che:

se $|x|<1$ Converge
se $|x|>1$ Non converge
se $|x|=1$ Non si può dire nulla (confronto diretto)

Pongo x=1

$sum_(n=1)^(+oo)(n+cos^2n)/(n^3+1)~ n/n^3 = 1/n^2$ Quindi converge

Ora io non sarò un genio nella risoluzione delle serie...ma se il $lim_(x->oo) (n+cos^2n)/(n^3+1) = 0$ non mi annulla anche il $|x^n|$? E se mi annulla anche il $|x^n|$ come faccio a studiarmi i vari casi?

[ciampax]

Punto primo: andrebbero studiati separatamente i casi per cui $x>0$ (serie a termini positivi) e $x<0$ (serie a termini di segno alterno).
Punto secondo: il criterio della radice si applica alla radice ennesima del termine generale e solo quando i termini sono positivi. In particolare
$$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\frac{n+\cos^2 n}{n^3+1}}=\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\frac{n}{n^3}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{(\sqrt[n]{n})^2}=1$$
per cui ha senso, almeno quando $x\ge0$, usare tale criterio e stabilire che la serie converge solo per $0\lex\le1$ (per $x>1$ diverge sicuramente, mentre per $x=1$ si ha il confronto asintotico con $1/n^2$ che converge).

Se invece $x<0$, posto $y=-x>0$ la serie si riscrive come $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n y^n$, la quale, utilizzando Leibniz, porta a concludere che essa converge per $0<y\le 1$ e quindi per $-1\le x<0$. Infatti si ha
$$\lim_{n\to+\infty} a_n y^n=0$$
solo per $0<y\le 1$e, in tal caso, è abbastanza facile far vedere che $a_{n+1} y^{n+1}<a_n y^n$.

[Sylent]

Ok ti ringrazio, ora ho capito