Test ammissione SS. Catania 2010

[marabuto]

Ciao ragazzi, vorrei proporvi alcuni test di ammissione della ss di catania del 2010' che non riesco proprio a risolvere

1 Due interi a e b soddisfano l'equazione $ a=a^2+b^2 -8b -2ab+16 $ si dimostri che allora a è un quadrato

2 Sia d un punto all'interno di un triangolo acutangolo ABC, si dimostri che se i tre cerchi circoscritti ai triangoli ABD, BCD, e CAD hanno lo stesso raggio allora D è l'ortocentro del triangolo ABC


3 Dati sei interi positivi distinti, qual è il massimo numero di primi nell'insieme delle somme di due di essi?

Per quanto riguarda il primo ho cercato di ridurre il secondo membro a quadrato di binomio o differenza di quadrati in tutte le combinazioni possibili che ho notato, ma non riesco a risolvere il quesito. Nel quarto test invece non mi è proprio chiaro il testo, da quali numeri è formato l'insieme delle somme di due di essi?? Grazie

[giammaria]

Il terzo quesito è stato discusso recentemente in questo forum; guarda qui, qualche riga dopo l'inizio pagina.

Per il primo ti propongo due soluzioni:
1) Sommando $8a$ ad entrambi i membri ottieni $9a=(a-b+4)^2$, quindi il primo membro deve essere un quadrato e perciò lo è $a$.
2) Portando tutto allo stesso membro ed ordinando secondo $b$ hai
$b^2-2b(a+4)+(a^2-a+16)=0$
e si ha $Delta/4=9a$; per avere soluzioni intere deve essere un quadrato.

[marabuto]

Grazie mille e scusa ho girato un po' per il forum e mi è sfuggito quel quesito.. sono nuovo...per quanto riguarda il secondo test invece? come posso risolverlo? Non riesco proprio! Grazie in anticipo!!

[giammaria]

La mia risposta al secondo test si basa sul fatto che se in due circonferenze uguali considero due corde uguali gli angoli alla circonferenza che insistono su esse sono uguali, purché entrambi acuti o entrambi ottusi. Gli angoli che considererò nell'applicarlo sono tutti acuti perché per ipotesi sono parti di angoli acuti. Ho allora
$AhatCD=AhatBD=x$ perché entrambi insistono su $AD$
$BhatCD=BhatAD=y$ perché entrambi insistono su $BD$
$ChatAD=ChatBD=z$ perché entrambi insistono su $CD$

Considerando la somma degli angoli di $ABC$ ottengo
$2x+2y+2z=180°->x+y+z=90°$

Prolungo $CD$ fino ad incontrare $AB$ in $H$; considerando la somma degli angoli di $ACH$ ho
$AhatHC=180°-(x+y+z)=180°-90°=90°$
e quindi $CH$ è un'altezza. Discorso analogo per gli altri prolungamenti, quindi $D$ è l'ortocentro.