[Controlli Automatici] Criterio di routh con parametro

[alex170]

Ciao a tutti
Ho il seguente sistema
$ P(s)=(s+a)/(s^2(1+0,5s)^2) $
mi si chiede di determinare i valori di K e di a per i quali il sistema K·P(s) in retroazione unitaria negativa risulta stabile

Dopo aver scritto l'equazione caratteristica
$ Delta (s)=0,25s^4+s^3+s^2+ks+ka $
ho costruito la tabella di Routh
$ {: ( 4 ),( 3 ),( 2 ),( 1 ),( 0 ) :}| ( 0.25 , 1 , ak ),( 1 , k , ),( 1-0.25k , ak , ),( (k(-a+1-0.25k))/(1-0.25k) , , ),( ak , , ) | $
affinchè il sistema sia stabile non devono esserci variazioni di segno nella prima colonna.
Il problema mi si presenta nella riga 1 perchè compaiono sia $k$ sia $a$. Avrò:
$ { (k>0),(-a+1-0.25k>0 rArr k<4(1-a)),(1-0.25k>0 rArr k<4):} $
La seconda disequazione dipende anche da $a$, allora ho pensato che:
$ { ( a<1 rArr 4(1-a)<k>0),( a>1 rArr 0<k>4(1-a) ):} $

Se il mio ragionamento è giusto....ora che faccio? Come determino un intervallo per $k$ e $a$?

[ingres]

Questo post (ormai perso nella notte dei tempi) sembra essere rimasto stranamente senza risposta, ma merita di essere completato.

Dalla tabella di Routh si ricavano le 3 condizioni:

1) $1-0.25k>0$
2) $k(1-0.25k-a)>0$
3) $ak>0$

avendo già sfruttato la condizione 1) per semplificare la 2). A questo punto osserviamo che se a<0 dalla 3) deve risultare k<0, ma in tal caso la 2) non può essere soddisfatta. Pertanto k>0, a>0 come peraltro si poteva già ottenere subito dalle condizioni necessarie sui segni dei coefficienti del polinomio caratteristico.
Quindi dalla 2) si ottiene k<4(1-a), ma dovendo essere k>0, dovrà risultare a<1. Con 0<a<1 la condizione sulla 2) soddisfa anche la 1) e pertanto la soluzione finale è:

$0<a<1$
$0<k<4(1-a)$