Intersezione di sottogruppi generati da permutazioni

[daniele.muffin]

Non riesco a risolvere questo esercizio:
Siano a e b le seguenti permutazioni:
$ alpha $ =(1,2,3)(5,6)(7,8)
$ beta $ =(1,2,3)(5,6,7,8)
Si determini l'ordine del sottogruppo $ <alpha >nn <beta > $ .

So che i sottogruppi di $ alpha $ hanno per cardinalità i divisori dell'ordine di $ alpha $ .
Ho trovato che l'ordine di $ alpha $ è mcm(3,2)=6; mentre l'ordine di $ beta $ è mcm(4,3)=12.
Quindi i sottogruppi generati da $ alpha $ hanno ordine 1,2,3 o 6 mentre quelli di $ beta $ 1,2,3,6 o 12.

Come posso completare l'esercizio e trovare l'ordine dell'intersezione?
Grazie mille.

[Kashaman]

Sei impreciso, perché parli di sottogruppi generati da $\alpha$? Quest'ultimo elemento ne genera soltanto uno, di sottogruppo.
Comunque, osservato che $|\alpha | = 6$ mentre $|\beta|=12$ , puoi dire che in virtù del Th. di Lagrange, l'ordine dell'intersezione dividerà il massimo comune divisore dell'ordine dei due gruppi, cioé sei.
Quindi, la tua intersezione avrà o ordine 1 (nel caso in cui i due sottogruppi saranno disgiunti) , o ordine 2 , o ordine 3 oppure ordine 6.
Inoltre i due sottogruppi sono ciclici, quindi lo sarà anche la loro intersezione.
Pertanto, ti basta trovare un generatore del tuo sottogruppo, escludendo passo passo le varie possibilità.