Salve a tutti, vorrei chiedervi una delucidazione su di una formula che ho trovato su un libro.
Prendendo in considerazione un punto materiale e definendone la posizione dello spazio come funzione di posizione e tempo:
\[
\vec{r}=\vec{r} \left( x_0 , x_1 , ... , x_n, t \right)
\]
vengono calcolate la velocità e l'accelerazione del punto, come:
\[
\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{\partial \vec{r}}{\partial t} + \sum\limits_{k=1}^n \frac{\partial \vec{r}}{\partial x_k} \dot{x_k}
\\
\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}=\frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial t^2} + \sum\limits_{k=1}^n \frac{\partial \vec{r}}{\partial x_k} \ddot{x_k}+\sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{j=1}^n \frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial x_k \partial x_j} \dot{x_k}\dot{x_j}.
\]
Io ho provato a sviluppare dalla velocità l'accelerazione ma ottengo la sommatoria delle derivate miste tempo-spazio e non capisco come poi non si presentino nell'equazione; insomma non mi si semplificano.
Questo è il termine in più che ottengo:
\[
\sum\limits_{k=1}^n \frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial x_k \partial t} \dot{x_k}.
\]