dimensione di somma e intersezione di sottospazi

Messaggioda Federico_94 » 01/09/2014, 20:00

Ciao a tutti. Oggi ho incontrato un po' di difficoltà nel cercare di risolvere un esercizio che vi propongo:

Si consideri lo spazio vettoriale $R^4$ con coordinate canoniche $x, y, z, w$. Siano inoltre $\vec{v}_t = (6, 1, t, 2)$ un vettore(dipendente dal parametro t), $U = Span{(3,1,1,2),(3,0,1,0)}$ un sottospazio di $R^4$ e $W_k$ il sottospazio di $R^4$(dipendente dal parametro k), definito dall'equazione cartesiana $3x-kz = 0$.

1)Determinare le dimensioni dell'intersezione $U \cap W_k$ e dello spazio somma $U+W_k$ in funzione del parametro $k$;
2)per $k=1$, si determini una base di $U \cap W_{k = 1}$;
3)Trovare i valori di $t$ per i quali risulta $\vec{v}_t \in U \cup W_{k=1}$ (unione insiemistica).

Voi come lo risolvereste? Io sono un po' bloccato, vi ringrazio in anticipo!
Federico_94
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Re: dimensione di somma e intersezione di sottospazi

Messaggioda FrecciaRossa » 01/09/2014, 21:11

Ciao, non so se lo sai, ma da regolamento dovresti prima esporre un tuo tentativo di risoluzione. Il consiglio che mi viene da darti è di provare a risolvere dapprima un esercizio di questo tipo ma senza parametri, se così ti è troppo difficile, poi prova a generalizzare. In ogni caso scrivi le tue idee, poi qualcuno che ti aiuta lo trovi ;)
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Re: dimensione di somma e intersezione di sottospazi

Messaggioda Federico_94 » 01/09/2014, 21:42

...

Considero $3x-kz = 0$ e lo riporto in forma parametrica. Dunque poichè ho un'equazione con quattro incognite ($y,w$ non compaiono, quindi possono assumere qualsiasi valore) nomino $(y = t_1, z = t_2, w = t_3) \rightarrow x = \frac{1}{3} kt_2$.
Ora stabilisco la dimensione di $W_k$ che in questo caso non mi sembra dipendere dal parametro $k$.. Ne determino una base $B_{W_k} = Span{(0, 1, 0, 0)(\frac{1}{3}k, 0, 1, 0)(0, 0, 0, 1)}$, quindi $W_k$ ha dimensione 3. Per calcolare poi $dim(U+W)$ prendo tutti i vettori di $U$ e quelli relativi a $W_k$ e applico l'algoritmo di estrazione di una base... Il problema è che a un certo punto quel parametro $k$ mi mette un po' in difficoltà e non so come comportarmi..
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Re: dimensione di somma e intersezione di sottospazi

Messaggioda FrecciaRossa » 02/09/2014, 10:12

Allora ok la prima parte, infatti lo spazio ( il secondo vettore lo prendo multiplo di quello che hai scelto tu per non portarmi in giro frazioni )
\[
W_k=Span_{\mathbb{R}}\Big\{(0,1,0,0);(k,0,3,0);(0,0,0,1) \Big\},
\] che ha dimensione $3$, indipendentemente dal valore di $k$.

Però l'esercizio ti chiede di determinarti gli spazi $U\capW_k$ e $U+W_k$ in funzione del parametro $k$.

Innanzitutto ti faccio osservare che il vettore $(3,0,1,0) \in U$ è multiplo del vettore $(k,0,3,0)$ se $k=9$; infatti
\[ 3\cdot (3,0,1,0)=(9,0,3,0),
\] mentre il vettore $(3,1,1,2)$ è combinazione lineare dei tre vettori che generano $W_9$; pertanto puoi concludere che per $k=9$ $U\capW_k=U$; e la somma....( con un ragionamento analogo vedi subito chi è ) e dunque sai già chi sono le dimensioni.

Se $k\ne9$ osservi che $(k,0,3,0)$ non è più multiplo di $(3,0,1,0)$; però i vettori della forma $h(3,1,1,2)-h(3,0,1,0)$ di $U$, per ogni $h \in \mathbb{R}$, sono anche vettori di $W_k$. Pertano la dimensione dell'intersezione è $1$ e con la regola di Grassman puoi trovare la dimensione della somma.

Per il punto 2, sostituisci $1$ a $k$; e fai i conti, ma da quello che ti ho scritto sopra non dovresti avere difficoltà a trovare una base.

Per il punto 3 ( poiché si parla di unione insiemistica e non di spazio generato dalla somma ) si tratta di vedere per quali $t$ il vettore $v_t$ sta in $U$ e per quali in $W_1$.
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Re: dimensione di somma e intersezione di sottospazi

Messaggioda Federico_94 » 02/09/2014, 10:14

Ho capito da solo....sfruttando la formula di Grassman:

$dim(U \cap W_k) = dimU+dimW_k - dim(U+W_k)$.

Quindi poichè so che $dimU = 2$ e la $dimW_k = 3 \forall k$ devo semplicemente fare in modo che $dim(U+W_k)$ sia uguale a 4, ovvero che la matrice associata ai vettori di $U$ e $W_k$ abbia RANGO = 4. Almeno per la prima parte dell'esercizio.
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Re: dimensione di somma e intersezione di sottospazi

Messaggioda Federico_94 » 02/09/2014, 10:18

FrecciaRossa ha scritto:Allora ok la prima parte, infatti lo spazio ( il secondo vettore lo prendo multiplo di quello che hai scelto tu per non portarmi in giro frazioni )
\[
W_k=Span_{\mathbb{R}}\Big\{(0,1,0,0);(k,0,3,0);(0,0,0,1) \Big\},
\] che ha dimensione $3$, indipendentemente dal valore di $k$.

Però l'esercizio ti chiede di determinarti gli spazi $U\capW_k$ e $U+W_k$ in funzione del parametro $k$.

Innanzitutto ti faccio osservare che il vettore $(3,0,1,0) \in U$ è multiplo del vettore $(k,0,3,0)$ se $k=9$; infatti
\[ 3\cdot (3,0,1,0)=(9,0,3,0),
\] mentre il vettore $(3,1,1,2)$ è combinazione lineare dei tre vettori che generano $W_9$; pertanto puoi concludere che per $k=9$ $U\capW_k=U$; e la somma....( con un ragionamento analogo vedi subito chi è ) e dunque sai già chi sono le dimensioni.

Se $k\ne9$ osservi che $(k,0,3,0)$ non è più multiplo di $(3,0,1,0)$; però i vettori della forma $h(3,1,1,2)-h(3,0,1,0)$ di $U$, per ogni $h \in \mathbb{R}$, sono anche vettori di $W_k$. Pertano la dimensione dell'intersezione è $1$ e con la regola di Grassman puoi trovare la dimensione della somma.

Per il punto 2, sostituisci $1$ a $k$; e fai i conti, ma da quello che ti ho scritto sopra non dovresti avere difficoltà a trovare una base.

Per il punto 3 ( poiché si parla di unione insiemistica e non di spazio generato dalla somma ) si tratta di vedere per quali $t$ il vettore $v_t$ sta in $U$ e per quali in $W_1$.


Ho letto adesso e ti ringrazio.. Dal ragionamento che ho fatto un minuto fa (non avendo letto ancora la tua risposta) sono arrivato proprio alla conclusione che se $k = 9$ allora $rg(A)$ (dove A è la matrice associata ai vettori dei due sottospazi) $ = 4$ quindi $dim(U \cap W_k) = 3+2-4 = 1$. Grazie mille per l'aiuto.
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Re: dimensione di somma e intersezione di sottospazi

Messaggioda FrecciaRossa » 02/09/2014, 10:27

Aspetta, se $k=9$ la matrice ha rango $3$; in tutti gli altri casi ha rango $4$.
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Re: dimensione di somma e intersezione di sottospazi

Messaggioda Federico_94 » 02/09/2014, 11:29

eeeeh si mi sono imbrogliato! :D Volevo dire quello! ^^
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