Salve a tutti, vi chiedo aiuto con questo particolare problema di cui non ne vengo a capo, o meglio ne vengo a capo ma con considerazioni che mi sembrano un po' troppo complesse e che non penso siano quelle ottimali per il problema (un lunghissimo studio di limiti e ordini di infinito che non so nemmeno se sia tutto giusto)
Sono date due funzioni: $f(x)=\2^{x-1}+2$ e $g(x)=\log_{2}ax+2$
Trovare per quale valore del parametro $a$ le due funzioni si intersecano in un solo punto
Il vero punto della questione su cui non riesco a far fronte è quello del sistema,perchè facendo un sistema non si riesce a isolare la variabile? Ho provato perfino con la Funzione $W$ di Lambert ma non riesco a isolare la variabile nemmeno con quella e sebbene la risposta al problema sia abbastanza intuibile ($a<0$) non riesco a dimostrarlo per via razionale e precisa. Pensavo che forse il punto è dimostrare l'esistenza o inesistenza di una soluzione per $a>0$ arrivando a un assurdo del tipo $a>0$ che implica $x<0$ (che andrebbe contro il dominio di $g(x)$). Quello che ho fatto io e che mi è sembrato complicato (anche visto che alcune di quelle cose non le abbiamo ancora fatte e penso non sia quello lo scopo dell'esercizio) è cercare gli zeri di una funzione $b(x)=\f(x)-g(x)$ e dimostrare che per $a>0$ non ha zeri mentre ne ha per $a<0$ (ho studiato i limiti per gli estremi del dominio di $b(x)$ e vedendo che erano opposti ho usato il teorema degli zeri). Ero curioso di sapere se ci fosse un'altra strada e del perchè non riesco a risolvere il sistema tra $f(x)$ e $g(x)$
Grazie a tutti in anticipo per le risposte