calcolare area nel piano con Green-Gauss

[asker993]

Ciao a tutti, mi trovo con questo esercizio e non mi torna il risultato, la consegna è: calcolare l'area tra le due curve di equazione

$r(t)1$ $x=3(t-sent), y=1-sen(2t)$ $t [0,pi/2]$
curva 2: $y=1$

Allora, verificato che la curva è effettivamente chiusa e visto come devo parametrizzare se voglio che il verso di percorrenza sia positivo (antiorario), ragiono così:

calcolo l'integrale curvilineo utilizzando Green-Gauss tale che $|A|=1/2{ int_{0}^{pi/2] [(sen(2t)-1)(3-3cost) +3(t-sent)(-2cos(2t))]dt + int_{1}^{0} (-(3/2)pi+3)dt}$
nel secondo integrale ho parametrizzato in questo modo: $r(t)2$: $x=t((3/2)pi-3)$, $y=1$ con $t [1,0]$ in modo tale da far percorrere in senso antiorario la curva $y=1$..

e dopo vari calcoli ottengo che l'area è $3/2(pi-1)$ e mi han detto che dovrebbe uscire un numero intero...voi cosa dite? cosa ho sbagliato nel ragionamento? Grazie

[asker993]

up.

[ciampax]

Il Teorema di Gauss-Green, nella forma "completa" per il calcolo di una superficie chiusa del piano afferma che
$$|D|=\iint_D dx\ dy=\frac{1}{2}\int_\gamma(y\ dx-x\ dy)=\int_\gamma y\ dx=-\int_\gamma x\ dy$$
Una semplice analisi della prima curva, mostra che sarà sempre $y\le 1$ e che le due curve hanno punti comuni in $A(0,1),\ B(3\pi/2,1)$. Possiamo spezzare il bordo nell'unione delle due curve nella forma $\gamma=r_1\cup(-r_2)$ (il meno per esplicitare il verso di percorrenza contrario. Pertanto per la prima curva abbiamo $t\in[0,\pi/2]$ mentre per la seconda $t\in[0,3\pi/2]$ (tenendo conto del fatto che pensiamo a $-r_2$). In definitiva possiamo scrivere, usando la seconda forma
$$|D|=\int_0^{\pi/2}\left[(1-\sin(2t))\cdot 3(1-\cos t)\ dt\right]-\int_0^{3\pi/2} dt=\\
3\int_0^{\pi/2}\left[1-\cos t-\sin(2t)+2\sin t\cos^2 t\right]\ dt-\frac{3\pi}{2}=\\ 3\left[t-\sin t+\frac{1}{2}\cos(2t)-\frac{2}{3}\cos^3 t\right]_0^{\pi/2}-\frac{3\pi}{2}=\\ 3\left(\frac{\pi}{2}-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\right)-\frac{3\pi}{2}=-4$$

[asker993]

io non ho ben capito come hai parametrizzato la seconda curva, io ho fatto così:$ x=t((3/2)pi-3) $ $ y=1 $ $ t [1,0] $ e dovrebbe funzionare se non sbaglio dato che quando $t=pi/2$ abbiamo che $x$ vale $3/2pi-3$ e dunque la faccio semplicemente variarare da quel valore a 0 sulla retta $y$...se no cosa è che non va in questa parametrizzazione?

Comunque ho rifatto il calcolo e adesso mi risulta $4$, te probabilmente hai sbagliato verso di percorrenza, dato che l'area deve esser positiva...

[ciampax]

Non ho sbagliato il verso di percorrenza, ma il segno davanti alla formule sopra, sorry.
Scrivere $t\in[1,0]$ non ha senso, perché non puoi "ribaltare" gli intervalli. Se vuoi parametrizzare correttamente la retta $y=1$, per andare da $(3\pi/2,1)$ a $(0,1)$ devi scrivere
$x=\frac{3\pi}{2}(1-t)\ y=1,\qquad t\in[0,1]$

[asker993]

grazie mille, ero convinto di quello che avevo fatto però mi son perso quella cosa grazie della dritta

[ciampax]

Prego, scusami se ho scritto le formule con i segni al contrario.